Bài 11 trang 85 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình thang $ABCD(AB//CD).$ Trên cạnh bên $AD$ lấy điểm $E$ sao cho ${\displaystyle \frac{AE}{ED}=\frac{p}{q}}$. Qua $E$ kẻ đường thẳng song song với các đáy và cắt $BC$ tại $F$.

Chứng minh rằng: ${\displaystyle EF=\frac{p.CD+q.AB}{p+q}}$

HD: Kẻ thêm đường chéo $AC$, cắt $EF$ ở $I$, rồi áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào các tam giác $ADC$ và $CAB.$

Lời giải chi tiết

Kẻ đường chéo $AC$ cắt $EF$ tại $I.$

Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào $\mathrm{\Delta }ADC$ có $EI//CD$, ta có:

${\displaystyle \frac{AE}{AD}=\frac{EI}{CD}}$

$\Rightarrow {\displaystyle EI=\frac{AE}{AD}.CD}$   (1)

Lại có: ${\displaystyle \frac{AE}{ED}=\frac{p}{q}}$ (gt)

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có:

${\displaystyle \frac{AE}{ED}=\frac{p}{q}}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{AE}{AE+ED}=\frac{p}{p+q}}$

Hay ${\displaystyle \frac{AE}{AD}=\frac{p}{p+q}}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ${\displaystyle EI=\frac{p}{p+q}.CD}$

Áp dụng định lí Ta-lét vào $\mathrm{\Delta }ABC$ có $IF//AB$, ta có:

${\displaystyle \frac{BF}{FC}=\frac{AI}{IC}}$          (3)

Áp dụng định lí Ta-lét vào $\mathrm{\Delta }ADC$ có $EI//CD$, ta có:

${\displaystyle \frac{AE}{ED}=\frac{AI}{IC}}$          (4)

Từ (3) và (4) suy ra: ${\displaystyle \frac{BF}{FC}=\frac{AE}{ED}=\frac{p}{q}}$

Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào $\mathrm{\Delta }ABC$ có $IF//AB$, ta có:

${\displaystyle \frac{IF}{AB}=\frac{CF}{CB}}$

${\displaystyle \Rightarrow IF=\frac{CF}{CB}.AB}$           (5)

Ta có: ${\displaystyle \frac{BF}{CF}=\frac{p}{q}}$ (cmt)

${\displaystyle \Rightarrow \frac{CF}{BF}=\frac{q}{p}}$

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có:

${\displaystyle \frac{CF}{BF}=\frac{q}{p}}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{CF}{CF+BF}=\frac{q}{p+q}}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{CF}{CB}=\frac{q}{p+q}}$    (6)

Từ (5) và (6) suy ra: ${\displaystyle IF=\frac{q}{p+q}.AB}$

Vậy ${\displaystyle EF=EI+\mathrm{I}F}$${\displaystyle =\frac{p}{p+q}.CD+\frac{q}{p+q}.AB}$${\displaystyle =\frac{p.CD+q.AB}{p+q}}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]