Bài 3.2 phần bài tập bổ sung trang 89 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Hình bình hành $ABCD$ có độ dài cạnh $AB=a=12,5cm,$ $BC=b=7,25cm.$ Đường phân giác của góc $B$ cắt đường chéo $AC$ tại $E$, đường phân giác của góc $D$ cắt đường chéo $AC$ tại $F$ (h.bs.3).

Hãy tính độ dài đường chéo $AC,$ biết $EF=m=3,45cm.$

(Tính chính xác đến hai chữ số thập phân).

Lời giải chi tiết

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$.

Mặt khác, $BE$ và $DF$ lần lượt là phân giác của các góc $B$ và $D$, suy ra $\widehat{ADF}=\widehat{CBE}={\displaystyle \frac{1}{2}}\widehat{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\widehat{ADC}$

Vì $AD//BC$ nên $\widehat{DAF}=\widehat{BCE}$ (cặp góc so le trong)

Xét $∆ADF$ và $∆CBE$ có:

$\widehat{ADF}=\widehat{CBE}$ (cmt)

$AD=CB=b$ (vì $ABCD$ là hình bình hành)

$\widehat{DAF}=\widehat{BCE}$ (cmt)

$\Rightarrow ∆ADF=∆CBE$ (g.c.g)

$\Rightarrow AF=CE$ (hai cạnh tương ứng).

Đặt $AF=CE=x$

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác vào tam giác $ABC$ phân giác $BE$, ta có:

$\begin{array}{rl}& \frac{AB}{BC}=\frac{AE}{CE}=\frac{AF+FE}{CE}\\ & \Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{x+m}{x}\\ & \Rightarrow ax=b\left(x+m\right)\\ & \Rightarrow ax=bx+bm\\ & \Rightarrow ax-bx=bm\\ & \Rightarrow x\left(a-b\right)=bm\\ & \Rightarrow x=\frac{mb}{a-b}\end{array}$

Ta có $AC=AF+FE+EC=x+m+x$${\displaystyle =2x+m=\frac{2mb}{a-b}+m=\frac{m\left(a+b\right)}{a-b}}$

Thay số $a=12,5cm,b=7,25cm,$$m=3,45cm$ ta được:

${\displaystyle AC=\frac{3,45\left(12,5+7,25\right)}{12,5-7,25}\approx 12,98}$ $(cm).$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]