Bài 58 trang 98 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Giả sử $AC$ là đường chéo lớn của hình bình hành $ABCD.$ Từ $C$, vẽ đường vuông góc $CE$ với đường thẳng $AB$, đường vuông góc $CF$ với đường thẳng $AD$ ($E,F$ thuộc phần kéo dài của các cạnh $AB$ và $AD$). Chứng minh rằng: $AB.AE+AD.AF=A{C}^2$. 

Lời giải chi tiết

Dựng $BG\perp AC.$

Xét $∆BGA$ và $∆CEA$ có:

+) $\widehat{BGA}=\widehat{CEA}={90}^{\circ }$

+) $\hat{A}$ chung

$\Rightarrow ∆BGA$ đồng dạng $∆CEA$ (g.g)

${\displaystyle \Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AG}{AE}}$

$\Rightarrow AB.AE=AC.AG$      (1)

Vì $AD//BC$ nên $\widehat{BCG}=\widehat{CAF}$  (cặp góc so le trong)

Xét $∆BGC$ và $∆CFA$ có:

+) $\widehat{BGC}=\widehat{CFA}={90}^{\circ }$

+) $\widehat{BCG}=\widehat{CAF}$ (cmt)

$\Rightarrow ∆BGC$ đồng dạng $∆CFA$ (g.g)

${\displaystyle \Rightarrow \frac{AF}{CG}=\frac{AC}{BC}}$

$\Rightarrow BC.AF=AC.CG$

Mà $BC=AD$ (vì $ABCD$ là hình bình hành)

$\Rightarrow AD.AF=AC.CG$           (2)

Cộng từng vế của đẳng thức (1) và (2) ta có:

$AB.AE+AD.AF$$=AC.AG+AC.CG$

$\Rightarrow AB.AE+AD.AF$$=AC\left(AG+CG\right)$

Lại có: $AG+CG=AC$ nên $AB.AE+AD.AF=A{C}^2$.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]