Bài 4.5 phần bài tập bổ sung trang 159 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình chóp cụt đều có đáy là hình vuông, các cạnh đáy là $a$ và $b.$ Biết diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, tính chiều cao của hình chóp cụt đều.

Lời giải chi tiết

Xét hình chóp cụt đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ như hình vẽ.

Gọi $M,M^{\prime }$ thứ tự là trung điểm của $BC,B^{\prime }{C}^{\prime }.$ Khi đó $M{M}^{\prime }$ là đường cao của hình thang cân $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$.

Do đó diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều là:

${\displaystyle S_{xq}=4.\frac{a+b}{2}.M{M}^{\prime }}$$=\left(2a+2b\right).M{M}^{\prime }$

Theo giả thiết, diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy ta có:

$\left(2a+2b\right).M{M}^{\prime }=a^2+b^2$

hay ${\displaystyle M{M}^{\prime }=\frac{a^2+b^2}{2\left(a+b\right)}}$         (1)

Dễ thấy $OM//O^{\prime }{M}^{\prime }$ nên $OM$ và $O^{\prime }{M}^{\prime }$ xác định mặt phẳng $(OM{M}^{\prime }{O}^{\prime })$.

Vì OM là đường trung bình của tam giác ABC nên $OM={\displaystyle \frac{AB}{2}}={\displaystyle \frac{a}{2}}$

Vì $O^{\prime }{M}^{\prime }$ là đường trung bình của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $O^{\prime }{M}^{\prime }={\displaystyle \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{2}}={\displaystyle \frac{b}{2}}$

Trong mặt phẳng $(OM{M}^{\prime }{O}^{\prime })$, kẻ $MH\perp O^{\prime }{M}^{\prime }$.

Khi đó $OMH{O}^{\prime }$ là hình chữ nhật nên $O^{\prime }H=OM={\displaystyle \frac{a}{2}},$$MH=O{O}^{\prime }=h$

Suy ra $H{M}^{\prime }=O^{\prime }{M}^{\prime }-O^{\prime }H={\displaystyle \frac{b-a}{2}}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $MH{M}^{\prime }$, ta có:

$MM{}^{\prime 2}=M{H}^2+HM{}^{\prime 2}$${\displaystyle =h^2+{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^2}$        (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\begin{array}{l}{h}^2+{\left({\displaystyle \frac{b-a}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{{\left(a^2+b^2\right)}^2}{4{\left(a+b\right)}^2}}\\ \Rightarrow h^2={\displaystyle \frac{{\left(a^2+b^2\right)}^2}{4{\left(a+b\right)}^2}}-{\displaystyle \frac{{\left(b-a\right)}^2}{4}}\\ ={\displaystyle \frac{{\left(a^2+b^2\right)}^2-{\left(b-a\right)}^2.{\left(a+b\right)}^2}{4{\left(a+b\right)}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{{\left(a^2+b^2\right)}^2-{\left[\left(b-a\right).\left(a+b\right)\right]}^2}{4{\left(a+b\right)}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{{\left(a^2+b^2\right)}^2-{\left(b^2-a^2\right)}^2}{4{\left(a+b\right)}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{\left(a^2+b^2+a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-a^2+b^2\right)}{4{\left(a+b\right)}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{2a^2.2b^2}{4{\left(a+b\right)}^2}}={\displaystyle \frac{a^2{b}^2}{{\left(a+b\right)}^2}}\end{array}$

Vậy ${\displaystyle h=\frac{ab}{a+b}}$.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]