Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

+) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:

$ax+by\le c(ax+by\ge c,ax+by<c,ax+by>c)$ trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Ví dụ: $2x+3y>10$

+) Cặp số $(x_0;y_0)$ được gọi là một nghiệm của BPT bậc nhất hai ẩn $ax+by\le c$nếu bất đẳng thức $a{x}_0+b{y}_0\le c$đúng.

Ví dụ: cặp số $(3;5)$ là một nghiệm của BPT $2x+3y>10$ vì $2.3+3.5=21>10$

+) BPT bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

+) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình $ax+by\le c$được gọi là miền nghiệm của BPT đó.

+) Đường thẳng $d:ax+by=c$chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng bờ d:

-  Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn $ax+by>c$

-  Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn $ax+by<c$

-  Bờ d gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn $ax+by=c$

+) Cách biểu diễn miền nghiệm của BPT $ax+by\le c$

Bước 1: Vẽ đường thẳng $d:ax+by=c$trên hệ trục Oxy

Bước 2: Lấy một điểm $M_0(x_0;y_0)$ không thuộc d

Bước 3: Tính $a{x}_0+b{y}_0$ và so sánh với c.

Bước 4: Nếu $a{x}_0+b{y}_0<c$thì nửa mặt phẳng bờ d chứa $M_0$ là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu $a{x}_0+b{y}_0>c$ thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa $M_0$ là miền nghiệm của BPT.

* Chú ý:

-  Nếu $c\ne 0$ ta thường chọn $M_0$ là gốc tọa độ.

-  Nếu $c=0$ ta thường chọn $M_0$ có tọa độ $(1;0)$ hoặc $(0;1).$

-  Miền nghiệm của BPT $ax+by<c$ là miền nghiệm của BPT $ax+by\le c$bỏ đi đường thẳng $ax+by=c$ và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.