Giải mục 1 trang 55, 56 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ1

Cho vecto $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$. Hãy xác định điểm C sao cho $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}$

a) Tìm mối quan hệ giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$

b) Vecto $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vecto $\overrightarrow{a}$

Phương pháp giải:

Hai vecto bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Lời giải chi tiết:

Gọi M, N lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto $\overrightarrow{a}$.

Từ B, M, N ta dựng hình bình hành BMNC.

Khi đó: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}$ hay $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BC}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

a) Vì  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BC}$ nên A, B, C thẳng hàng và B là trung điểm của AC.

Vậy $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng, $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\right|=2.\left|\overrightarrow{AB}\right|$

b) Ta có:  $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng, $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\right|=2.\left|\overrightarrow{AB}\right|$

Mà $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ nên:  $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a}$ cùng hướng, $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\right|=2.\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Câu hỏi

$1\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a}$ có bằng nhau hay không?

Phương pháp giải:

Hai vecto bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: Vecto $1\overrightarrow{a}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{a}$ và  $\left|1\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Vậy hai vecto $1\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a}$ bằng nhau.

HĐ2

Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số $0;1;\sqrt{2};-\sqrt{2}$. Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ với vecto $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{OA}$.

Phương pháp giải:

Vecto $k\overrightarrow{a}$ (với $k>0,\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$)  là vecto cùng hướng với vecto $\overrightarrow{a}$ và có độ đài bằng $k\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy:

Vecto $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{OA}$có cùng giá nên chúng cùng phương.

Mà vecto $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{OA}$cùng nằm trên tia OM nên chúng cùng chiều

Vậy vecto $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{OA}$cùng hướng.

Ngoài ra, $\left|\overrightarrow{OM}\right|=OM=\sqrt{2}$ và $\left|\overrightarrow{OA}\right|=OA=1$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{2}.\left|\overrightarrow{OA}\right|$

Ta kết luận $\overrightarrow{OM}=\sqrt{2}.\overrightarrow{OA}$.

Câu hỏi

$-\overrightarrow{a}$ và $-1\overrightarrow{a}$ có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải:

Vecto $k\overrightarrow{a}$ (với $k<0,\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$)  là vecto ngược hướng với vecto $\overrightarrow{a}$ và có độ đài bằng $\left|k\right|\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Vecto $-\overrightarrow{a}$ là vecto đối của vecto $\overrightarrow{a}$

$\Rightarrow -\overrightarrow{a}$ ngược hướng với vecto $\overrightarrow{a}$ và $\left|-\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|$

Lại có:

Vecto  $-1\overrightarrow{a}$ là vecto ngược hướng với vecto $\overrightarrow{a}$ và có độ đài bằng $\left|-1\right|\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|$.

$\Rightarrow -\overrightarrow{a}$ và $-1\overrightarrow{a}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau (bằng vecto$\overrightarrow{a}$).

Hay $-\overrightarrow{a}=-1\overrightarrow{a}$

Luyện tập 1

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để $\overrightarrow{AM}=t.\overrightarrow{AB}$

b) Với điểm M bất kì, ta luôn có $\overrightarrow{AM}=\frac{AM}{AB}.\overrightarrow{AB}$

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số $t\le 0$ để $\overrightarrow{AM}=t.\overrightarrow{AB}$

Phương pháp giải:

$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}\left(\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}\right)$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để $\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{b}$

Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng thì $k=\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$

Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng thì $k=-\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$

Lời giải chi tiết:

a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi hai vecto $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng phương (cùng giá d)

Khi và chỉ khi tồn tại số t để $\overrightarrow{AM}=t.\overrightarrow{AB}$.

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Với điểm M bất kì, ta luôn có $\overrightarrow{AM}=\frac{AM}{AB}.\overrightarrow{AB}$

Sai vì $\overrightarrow{AM}=\frac{AM}{AB}.\overrightarrow{AB}$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng.

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB, tức là A nằm giữa M và B.

Khi và chỉ khi hai vecto $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng

$\iff$ tồn tại số $t\le 0$ để $\overrightarrow{AM}=t.\overrightarrow{AB}$

Vậy khẳng định c) đúng.