Giải bài 4.17 trang 65 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ $\overrightarrow{a}=3.\overrightarrow{i}-2.\overrightarrow{j},$$\overrightarrow{b}=\left(4;-1\right)$ và các điểm M (-3; 6), N(3; -3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow{b}=\left(4;-1\right)$ và $\overrightarrow{a}=3.\overrightarrow{i}-2.\overrightarrow{j}\Rightarrow \overrightarrow{a}\left(3;-2\right)$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(2.3-4;2.\left(-2\right)-\left(-1\right)\right)=\left(2;-3\right)$

Lại có: M (-3; 6), N(3; -3)

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left(3-\left(-3\right);-3-6\right)=\left(6;-9\right)$

Dễ thấy:$\left(6;-9\right)=3.\left(2;-3\right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{MN}=3\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$

b) Ta có: $\overrightarrow{OM}=\left(-3;6\right)$ ( do M(-3; 6)) và $\overrightarrow{ON}=\left(3;-3\right)$ (do N (3; -3)).

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{-3}{3}\ne \frac{6}{-3}$).

Do đó các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{PN}$.

Do $\overrightarrow{OM}=\left(-3;6\right),\overrightarrow{PN}=\left(3-x;-3-y\right)$  nên

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{PN}\iff \{\begin{array}{l}-3=3-x\\ 6=-3-y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=6\\ y=-9\end{array}$

Vậy điểm cần tìm là P (6; -9).