Giải mục 2 trang 61, 62, 63, 64 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\overrightarrow{u}=(2;-3),\overrightarrow{v}=(4;1),\overrightarrow{a}=(8;-12)$

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{a}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$

b) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},4.\overrightarrow{u}$

c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{a}$

Phương pháp giải:

a) Vectơ $\overrightarrow{a}$ có tọa độ (x;y) thì $\overrightarrow{a}=x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}$

b)

Bước 1: Tính $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},4.\overrightarrow{u}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$

Bước 2: Suy ra tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},4.\overrightarrow{u}$

c)

Quan sát biểu thị theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ của các vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{a}$ để suy ra mối liên hệ.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow{u}=(2;-3)$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}=2.\overrightarrow{i}+\left(-3\right).\overrightarrow{j}$

Tương tự ta có: $\overrightarrow{v}=(4;1),\overrightarrow{a}=(8;-12)$

$\Rightarrow \overrightarrow{v}=4.\overrightarrow{i}+1.\overrightarrow{j};\overrightarrow{a}=8.\overrightarrow{i}+\left(-12\right).\overrightarrow{j}$

b) Ta có: $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}=2.\overrightarrow{i}+\left(-3\right).\overrightarrow{j}\\ \overrightarrow{v}=4.\overrightarrow{i}+1.\overrightarrow{j}\end{array}$(theo câu a)

$\begin{array}{l}\Rightarrow \{\begin{array}{c}\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(2.\overrightarrow{i}+\left(-3\right).\overrightarrow{j}\right)+\left(4.\overrightarrow{i}+1.\overrightarrow{j}\right)\\ 4.\overrightarrow{u}=4\left(2.\overrightarrow{i}+\left(-3\right).\overrightarrow{j}\right)\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(2.\overrightarrow{i}+4.\overrightarrow{i}\right)+\left(\left(-3\right).\overrightarrow{j}+1.\overrightarrow{j}\right)\\ 4.\overrightarrow{u}=4.2.\overrightarrow{i}+4.\left(-3\right).\overrightarrow{j}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=6.\overrightarrow{i}+\left(-2\right).\overrightarrow{j}\\ 4.\overrightarrow{u}=8.\overrightarrow{i}+\left(-12\right).\overrightarrow{j}\end{array}\end{array}$

c) Vì $\{\begin{array}{l}4.\overrightarrow{u}=8.\overrightarrow{i}+\left(-12\right).\overrightarrow{j}\\ \overrightarrow{a}=8.\overrightarrow{i}+\left(-12\right).\overrightarrow{j}\end{array}$ nên ta suy ra $4.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}$

HĐ4

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $M(x_o;y_o)$. Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35)

a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị $\overrightarrow{OP}$ theo $\overrightarrow{i}$ và tính độ dài của $\overrightarrow{OP}$ theo $x_o$.

b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị $\overrightarrow{OQ}$ theo $\overrightarrow{j}$ và tính độ dài của $\overrightarrow{OQ}$ theo $y_o$.

c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của $\overrightarrow{OM}$ theo $x_o,y_o.$

d) Biểu thị $\overrightarrow{OM}$ theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$.

Phương pháp giải:

a) P biểu diễn hoành độ của điểm M.

b) Q biểu diễn tung độ của điểm M.

c) Tính độ dài của $\overrightarrow{OM}$ theo các cạnh của hình chữ nhật dựa vào định lí Pytago

d) Biểu thị $\overrightarrow{OM}$ theo các vectơ $\overrightarrow{OP}$, $\overrightarrow{OQ}$ (quy tắc hình bình hành)

Lời giải chi tiết:

a) Vì P là hình chiếu vuông góc của M trên Ox nên điểm P biểu diễn hoành độ của điểm M là số $x_o$

Ta có: vectơ $\overrightarrow{OP}$ cùng phương, cùng hướng với $\overrightarrow{i}$ và $\left|\overrightarrow{OP}\right|=x_o=x_o.\left|\overrightarrow{i}\right|$

$\Rightarrow \overrightarrow{OP}=x_o.\overrightarrow{i}$.

b) Vì Q là hình chiếu vuông góc của M trên Oy nên điểm Q biểu diễn tung độ của điểm M là số $y_o$

Ta có: vectơ $\overrightarrow{OQ}$ cùng phương, cùng hướng với $\overrightarrow{j}$ và $\left|\overrightarrow{OQ}\right|=y_o=y_o.\left|\overrightarrow{j}\right|$

$\Rightarrow \overrightarrow{OQ}=y_o.\overrightarrow{j}$.

c) Ta có: $\overrightarrow{OM}=OM$.

Mà $O{M}^2=O{P}^2+M{P}^2=O{P}^2+O{Q}^2={x_o}^2+{y_o}^2$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{{x_o}^2+{y_o}^2}$

d) Ta có: Tứ giác OPMQ là hình chữ nhật, cũng là hình bình hành  nên $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$

$\Rightarrow \overrightarrow{OM}=x_o.\overrightarrow{i}+y_o.\overrightarrow{j}$

HĐ5

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x;y) và N(x’; y’)

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$.

b) Biểu thị vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ và tọa độ của $\overrightarrow{MN}$.

c) Tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow{MN}$

Phương pháp giải:

a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ chính là tọa độ của M, N

b) Biểu thị vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ bằng quy tắc hiệu.

Tìm tọa độ của $\overrightarrow{MN}$ dựa vào biểu thị theo hiệu ở trên và tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ đã biết.

c) Độ dài của vectơ $\overrightarrow{MN}(a;b)$ là $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

Lời giải chi tiết:

a) Vì điểm M có tọa độ (x; y) nên vectơ $\overrightarrow{OM}$ có tọa độ (x; y).

Và điểm N có tọa độ (x’; y’) nên vectơ $\overrightarrow{ON}$ có tọa độ (x’; y’).

b) Ta có:  $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$ (quy tắc hiệu)

Mà $\overrightarrow{OM}$ có tọa độ (x; y); $\overrightarrow{ON}$ có tọa độ (x’; y’).

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)-\left(x;y\right)=\left(x^{\prime }-x;y^{\prime }-y\right)$

c) Vì $\overrightarrow{MN}$ có tọa độ $\left(x^{\prime }-x;y^{\prime }-y\right)$ nên $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{{\left(x^{\prime }-x\right)}^2+{\left(y^{\prime }-y\right)}^2}$

Luyện tập 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(3; 3).

a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?

b) Tìm điểm M(x; y) để OABM là một hình hành.

Phương pháp giải:

a) Các điểm O, A, B thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ cùng phương

b) OABM là một hình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{MB}$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow{OA}=\left(2;1\right)$ ( do A(2; 1)) và $\overrightarrow{OB}=\left(3;3\right)$ (do B (3; 3)).

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{2}{3}\ne \frac{1}{3}$).

Do đó các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

b) Các điểm O, A, B không thẳng hàng nên OABM là một hình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{MB}$.

Do $\overrightarrow{OA}=\left(2;1\right),\overrightarrow{MB}=\left(3-x;3-y\right)$ nên

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{MB}\iff \{\begin{array}{l}2=3-x\\ 1=3-y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}$

Vậy điểm cần tìm là M (1; 2).

Vận dụng

Từ thông tin dự báo được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.

Lời giải chi tiết:

Gọi tọa độ điểm M là (x; y)

Theo dự báo, tại thời điểm 9 giờ, tâm bão đã đi được $\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$ khoảng cách từ A tới B.

Hay $AM=\frac{3}{4}.AB\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}.\overrightarrow{AB}$(*)

Mà $\overrightarrow{AM}=\left(x-13,8;y-108,3\right),$$\overrightarrow{AB}=\left(14,1-13,8;106,3-108,3\right)=\left(0,3;-2\right)$

Do đó $(\ast )\iff \{\begin{array}{l}x-13,8=\frac{3}{4}.0,3\\ y-108,3=\frac{3}{4}.\left(-2\right)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=14,025\\ y=106,8\end{array}$

Vậy tọa độ điểm M là (14,025; 106,8)