Giải bài 4.21 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{a}=(-3;1),\overrightarrow{b}=(2;6)$

b) $\overrightarrow{a}=(3;1),\overrightarrow{b}=(2;4)$

c) $\overrightarrow{a}=(-\sqrt{2};1),\overrightarrow{b}=(2;-\sqrt{2})$

Lời giải chi tiết

a) 

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(-3).2+1.6=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}\mathrm{\perp }\overrightarrow{b}$ hay $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)={90}^o$.

b)

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=3.2+1.4=10\\ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10};|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{10}{\sqrt{10}.2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)={45}^o\end{array}$

c) Dễ thấy: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương do $\frac{-\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{-\sqrt{2}}$

Hơn nữa: $\overrightarrow{b}=\left(2;-\sqrt{2}\right)=-\sqrt{2}.\left(-\sqrt{2};1\right)=-\sqrt{2}.\overrightarrow{a}$; $-\sqrt{2}<0$

Do đó: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)={180}^o$

Chú ý:

Khi tính góc, ta kiểm tra các trường hợp dưới đây trước:

+  $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)={90}^o$: nếu $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

+ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương: 

$\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0^o$ nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng

$\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)={180}^o$ nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng

Nếu không thuộc các trường hợp trên thì ta tính góc dựa vào công thức $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}$.