Giải mục 2 trang 90, 91 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 2

Cho 3 vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ được biểu diễn như hình 9. Hãy hoàn thành các phép cộng vectơ sau và so sánh kết quả tìm được:

a) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=?$

$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}=?$

b) $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=?$

$\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=?$

Phương pháp giải:

Bước 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$;

Bước 2: So sánh các vectơ vừa tìm được

Lời giải chi tiết:

a)       Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$;

$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$

b)       Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$

Thực hành 3

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài các vectơ sau:

a)       $\overrightarrow{a}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)+\overrightarrow{CB};$                       

b) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}.$ 

Phương pháp giải:

Bước 1: Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ $\overrightarrow{0}$ tìm tổng các vectơ

Bước 2: Tính độ dài vectơ vừa tìm đc, độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ là \(\left| 

Lời giải chi tiết:

a)       $\begin{array}{l}\overrightarrow{a}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)+\overrightarrow{CB}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)+\overrightarrow{BD}\\ =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\\ \Rightarrow |\overrightarrow{a}|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=1\end{array}$

b)       $\begin{array}{l}\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}\right)\\ =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AC}\end{array}$

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{a}|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{2}$