Giải mục 1 trang 94, 95 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 1

Cho vectơ $\overrightarrow{a}$. Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a},\left(-\overrightarrow{a}\right)+\left(-\overrightarrow{a}\right)$: (Hình 1)

Lời giải chi tiết:

Dựa vào hình 1 ta thấy

Vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}$ có độ dài bằng 2 lần vectơ $\overrightarrow{a}$và cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$

Vectơ $\left(-\overrightarrow{a}\right)+\left(-\overrightarrow{a}\right)=\overrightarrow{DF}$ có độ dài bằng 2 lần vectơ $\left(-\overrightarrow{a}\right)$ và cùng hướng với vectơ $\left(-\overrightarrow{a}\right)$

Thực hành 1

Cho hai vectơ cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và điểm M như hình 3.

a) Hãy vẽ vectơ $\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{a},\overrightarrow{MP}=-3\overrightarrow{b}$

b) Cho biết mỗi ô có cạnh bằng 1. Tính: $\left|3\overrightarrow{b}\right|,\left|-3\overrightarrow{b}\right|,\left|2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định hướng của vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$

Bước 2: Xác định tỉ lệ độ dài $\frac{\left|\overrightarrow{x}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}$

Lời giải chi tiết:

a) $\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{a}$có độ dài bằng 3 lần vectơ $\overrightarrow{a}$, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$

Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MN với độ dài là 6 ô vuông và có hướng từ trái sang phải

$\overrightarrow{MP}=-3\overrightarrow{b}$có độ dài bằng 3 lần vectơ $-\overrightarrow{b}$, ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$

Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MP với độ dài là 3 đường chéo ô vuông và có hướng từ trên xuống dưới chếch sang trái

b) Hình vuông với cạnh bằng 1 thì ta tính được đường chéo có độ dài là $\sqrt{2}$; $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2}$ . Suy ra:

$\left|3\overrightarrow{b}\right|=3\left|\overrightarrow{b}\right|=3\sqrt{2}$; $\left|-3\overrightarrow{b}\right|=3\left|\overrightarrow{-b}\right|=3\sqrt{2}$; $\left|2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|=\left|2\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\right|=2\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|$

Từ điểm cuối của vectơ $\overrightarrow{a}$ vẽ một vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{b}$ ta có $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

Áp dụng định lý cosin ta tính được độ dài của vectơ $\overrightarrow{c}$là $\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-2\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \left(\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}\right)}=\sqrt{2^2+{\sqrt{2}}^2-2.2.\sqrt{2}.\cos \left({135}^{\circ }\right)}=\sqrt{10}$

$\Rightarrow \left|2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|=2\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=2\left|\overrightarrow{c}\right|=2\sqrt{10}$

Thực hành 2

Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc 3 điểm $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}$

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\iff \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}$

$\iff \left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MG}\right)+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3\overrightarrow{MG}$

$\iff 3\overrightarrow{MG}=3\overrightarrow{MG}$ (đpcm) ( Vì G  là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$)

Vận dụng

Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lý/ giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lý/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow{b}$ của tàu B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow{a}$ của tòa A.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy hai hướng đông và tây là ngược nhau và tỉ số độ dài $\frac{\left|\overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{50}{20}=\frac{5}{2}$

$\Rightarrow \overrightarrow{b}=-\frac{5}{2}\overrightarrow{a}$