Giải mục II trang 46, 47 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

Luyện tập – vận dụng 1

Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) $f\left(x\right)=-2x^2+4x-5$

b) $f\left(x\right)=-x^2+6x-9$

Phương pháp giải:

Sử dụng biệt thức thu gọn ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(b^{\prime }\right)}^2-ac$ với $b=2b^{\prime }$.

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì $f\left(x\right)$ cùng dấu với hệ số a vời mọi $x\in \mathbb{R}$.

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì $f\left(x\right)$ cùng dấu với hệ số a vời mọi $x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-\frac{b^{\prime }}{a}\right\}$.

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì $f\left(x\right)$ có 2 nghiệm $x_1,x_2\left(x_1<x_2\right)$. Khi đó:

$f\left(x\right)$ cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };x_1\right)$ và $\left(x_2;+\mathrm{\infty }\right)$;

$f\left(x\right)$ trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng $\left(x_1;x_2\right)$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $a=-2<0$, $b=4=>b^{\prime }=2$ và $c=-5$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=2^2-\left(-2\right).\left(-5\right)=-6<0$

=>$f\left(x\right)$ cùng dấu âm với hệ số a.

=> $f\left(x\right)<0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

b) Ta có: $a=-1,b=6,c=-9=>b^{\prime }=3$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=3^2-\left(-1\right).\left(-9\right)=0$

$\frac{-b}{2a}=\frac{-b^{\prime }}{a}=3$

=> $f\left(x\right)$ cùng dấu âm với hệ số a với mọi $x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{3\right\}$

=> $f\left(x\right)<0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{3\right\}$

Luyện tập – vận dụng 2

Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai: $f\left(x\right)=-x^2-2x+8$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm nghiệm của $f\left(x\right)=-x^2-2x+8$ và hệ số a.

Bước 2: Lập bảng xét dấu.

Lời giải chi tiết:

Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-x^2-2x+8$ có hai nghiệm phân biệt $x_1=-4,x_2=2$ và hệ số $a=-1<0$.

Ta có bảng xét dấu $f\left(x\right)$ như sau: