Giải bài 2.6 trang 23 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Biểu diễn miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $\{\begin{array}{c}x\ge -1\\ y\ge 0\\ x+y\le 4\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}x>0\\ y>0\\ x-y-4<0\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}y\le 3\\ x\le 3\\ x\ge -1\\ y\ge -2\end{array}$

Lời giải chi tiết

a)      $\{\begin{array}{c}x\ge -1\\ y\ge 0\\ x+y\le 4\end{array}$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x\ge -1$ là nửa mặt phẳng bờ $d:x=-1$ chứa điểm $O\left(0;0\right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y\ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ $Ox$ chứa điểm $\left(0;4\right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình$x+y\le 4.$

Vẽ đường thẳng $d_2:x+y=4$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$

Chọn $O\left(0;0\right)$ là điểm không thuộc đường thẳng $d_2$ và thay vào biểu thức $x+y,$ ta được $0+0=0<4.$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $d_2:x+y=4$ là nửa mặt phẳng bờ $d_2$ và chứa điểm $O\left(0;0\right).$

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là: $\mathrm{\Delta }ABC$ với $A\left(-1;0\right),B\left(4;0\right),C\left(-1;5\right).$

b)     $\{\begin{array}{c}x>0\\ y>0\\ x-y-4<0\end{array}$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x>0$ là nửa mặt phẳng bờ $Oy$ chứa điểm $\left(1;0\right)$ mà bỏ đi trục $Oy.$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y>0$ là nửa mặt phẳng bờ $Ox$ chứa điểm $\left(0;1\right)$ mà bỏ đi trục $Ox.$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x-y-4<0$.

Vẽ đường thẳng $d_2:x-y-4=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$

Chọn $O\left(0;0\right)$ không thuộc đường thẳng $d_2$ và thay vào biểu thức $x-y-4,$ ta được $0-0-4=-4<0.$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x-y-4<0$ là nửa mặt phẳng bờ $d_2$ chứa điểm $O\left(0;0\right)$ không kể $d_2$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là phần không có gạch.

c)      $\{\begin{array}{c}y\le 3\\ x\le 3\\ x\ge -1\\ y\ge -2\end{array}$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y\le 3$ là nửa mặt phẳng bờ $d:y=3$ chứa điểm $O\left(0;0\right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x\le 3$ là nửa mặt phẳng bờ $d_1:x=3$ chứa điểm $O\left(0;0\right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x\ge -1$ là nửa mặt phẳng bờ $d_3:x=-1$ chứa điểm $O\left(0;0\right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y\ge -2$ là nửa mặt phẳng bờ $d_4:y=-2$ chứa điểm $O\left(0;0\right).$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là: hình chữ nhật $ABCD$ với $A\left(-1;3\right),B\left(-1;-2\right),C\left(3;-2\right),D\left(3;3\right).$