Giải bài 4.10 trang 51 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác $ABC.$ Gọi $D,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB.$

a) Xác định vectơ $\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}$

b) Xác định điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{MA}.$

c) Chứng minh rằng $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}.$

Lời giải chi tiết

a)      Ta có: $DF$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }ABC$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{DF}$

$\Rightarrow$ tứ giác $CDFE$ là hình bình hành.

Ta có: $D$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AB$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{FB},$ $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}$ 

Ta có: $\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{CB}$

b)     Theo câu a, ta có: $\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}$

mặt khác $\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{MA}.$

nên $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{MA}$

$\Rightarrow$ tứ giác $ABCM$ là hình bình hành

$\Rightarrow$ $M$ là điểm đối xứng với $B$ qua $E$

c)      Theo câu b, ta có: tứ giác $ABCM$ là hình bình hành

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}.$