Giải bài 4.36 trang 66 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(1;1)$ và $B(7;5).$

a) Tìm tọa độ của điểm $C$ thuộc trục hoành sao cho $C$ cách đều $A$ và $B.$

b) Tìm tọa độ của điểm $D$ thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$ có độ dài ngắn nhất.

Lời giải chi tiết

a) Vì điểm $C$ thuộc trục hoành nên tạo độ điểm $C$ là: $C(x;0)$

Ta có: $\overrightarrow{CA}=(1-x;1)$ và $\overrightarrow{CB}=(7-x;5)$

Để điểm $C$ cách đều $A$ và $B$

$\begin{array}{l}\iff AC=BC\\ \iff {\left(1-x\right)}^2+1={\left(7-x\right)}^2+5^2\\ \iff x^2-2x+2=x^2-14x+74\\ \iff 12x=72\\ \iff x=6\end{array}$

Vậy $C(6;0)$

b) Vì điểm $D$ thuộc trục tung nên $D(0;y)$

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ nên $M(4;3).$

Ta có: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{DM}$

Để $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$ có độ dài ngắn nhất

$\iff$ $\overrightarrow{DM}$ có độ dài ngắn nhất

$\iff$ $D$ là hình chiếu của $M$ trên trục $Oy$

$\iff$ $D(0;3)$