Giải bài 4.30 trang 65 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=1,BC=\sqrt{2}.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AD.$

a) Chứng minh rằng các đường thẳng $AC$ và $BM$ vuông góc với nhau.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $AC,BM.$ Gọi $N$ là trung điểm của $AH$ và $P$ là trung điểm của $CD.$ Chứng minh rằng tam giác $NBP$ là một tam giác vuông.

Lời giải chi tiết

a)      Ta có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành)

Ta có: $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BM}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)$

 $\begin{array}{l}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{1}{2}{\overrightarrow{AD}}^2-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}\\ =-{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{1}{2}{\overrightarrow{AD}}^2=-1+\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}\right)-1+1=0\end{array}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{AC}\mathrm{\perp }\overrightarrow{BM}$ $\Rightarrow$ $AC\mathrm{\perp }BM$

b)     Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $B$ có:

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{1+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{3}$       (1)

Xét $\mathrm{\Delta }ABN$ vuông tại $A$ có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{M}^2}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\Rightarrow \frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=1+2=3$

$\Rightarrow AH=\frac{\sqrt{3}}{3}$      (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $AH=\frac{1}{3}AC$

Ta có: $\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}$

Ta có: $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{CP}-\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}-\frac{5}{6}\overrightarrow{CA}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{NB}.\overrightarrow{NP}=\left(\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}\right)\left(\frac{5}{6}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\right)$

                   $\begin{array}{l}=\frac{25}{36}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\frac{5}{18}{\overrightarrow{AB}}^2-\frac{5}{36}{\overrightarrow{AD}}^2-\frac{1}{18}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}\\ =\frac{5}{18}{\overrightarrow{AB}}^2-\frac{5}{36}{\overrightarrow{AD}}^2=\frac{5}{18}.1-\frac{5}{36}.\left(\sqrt{2}\right)=\frac{5}{18}-\frac{5}{18}=0\end{array}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{NB}\mathrm{\perp }\overrightarrow{NP}$ $\Rightarrow$ $NB\mathrm{\perp }NP$

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }NBP$ vuông tại $N$.