Giải bài 4.29 trang 65 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng 1.

a)      Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Tính tích vô hướng của các cặp vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{BA},$ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{AC}.$

b)     Gọi $N$ là điểm đối xứng với $B$ qua $C.$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}$

c)      Lấy điểm $P$ thuộc đoạn $AN$ sao cho $AP=3PN.$ Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{MP}$ thuộc hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$ Tính độ dài đoạn $MP.$

Lời giải chi tiết

a) Xét $\mathrm{\Delta }ABC$ đều cạnh bằng 1 có: $M$ là trung điểm của cạnh $BC$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}AM=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{BA}\right)={30}^{\circ }\\ \left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{AC}\right)={150}^{\circ }\end{array}$

Ta có: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BA}=\left|\overrightarrow{MA}\right|.\left|\overrightarrow{BA}\right|.\cos \left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{BA}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{MA}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{AC}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.\cos {150}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{-3}{4}$

b) Ta có: $MN=CM+CN=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$

Ta có: $\widehat{MAN}={60}^{\circ }$

Xét $\mathrm{\Delta }AMN$ vuông tại $M$ có:

$AN=\sqrt{A{M}^2+M{N}^2}=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{3}$

Ta có: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=\left|\overrightarrow{AM}\right|.\left|\overrightarrow{AN}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}.\cos {60}^{\circ }=\frac{3}{2}.\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$

c) Ta có: $P$ thuộc đoạn $AN$ sao cho $AP=3PN.$

Nên $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}\right)=\frac{3}{4}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac{3}{4}\left(2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

Ta có: $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}\left(2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)-\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AC}-\frac{5}{4}\overrightarrow{AB}$

Ta có: $AP=\frac{3}{4}AN=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow$ $MP=\sqrt{A{P}^2+A{M}^2-2AP.AM.\cos \widehat{MAP}}=\frac{\sqrt{21}}{4}$