Giải bài 4.65 trang 70 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình thang vuông $ABCD$ có $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}={90}^{\circ },BC=1,AB=2$ và $AD=3.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AB.$

a)      Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CD}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}.$

b)     Gọi $N$ là trung điểm của $CD,G$ là trọng tâm tam giác $MCD$ và $I$ là điểm thuộc cạnh $CD$ sao cho $9IC=5ID.$ Chứng minh rằng $A,G,I$ thẳng hàng.

c)      Tính độ dài các đoạn thẳng $AI$ và $BI.$

Lời giải chi tiết

a)      Ta có: $BC=1$ và $AD=3$

mặt khác $BC$//$AD$ vì $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

Ta có: $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

Ta có: $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$

 $\begin{array}{l}=-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\\ =-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\\ =\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\end{array}$

b)     Ta có: $G$ là trọng tâm của $\mathrm{\Delta }MCD$

$\Rightarrow$ $3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow$ $6.3\overrightarrow{AG}=18\overrightarrow{AG}=9\overrightarrow{AB}+8\overrightarrow{AD}$           (1)

Ta có: $9IC=5ID$

$\Rightarrow$ $9\overrightarrow{IC}+5\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$

$\iff$ $9\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AI}\right)+5\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AI}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff$ $14\overrightarrow{AI}=9\overrightarrow{AC}+5\overrightarrow{AD}$

$\iff$ $14\overrightarrow{AI}=9\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+5\overrightarrow{AD}=9\overrightarrow{AB}+9.\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+5\overrightarrow{AD}$

$\iff$ $14\overrightarrow{AI}=9\overrightarrow{AB}+8\overrightarrow{AD}$                            (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $18\overrightarrow{AG}=14\overrightarrow{AI}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{AI}$ cùng hướng

$\Rightarrow$ ba điểm $A,G,I$ thẳng hàng.

c)      Ta có: $14\overrightarrow{AI}=9\overrightarrow{AB}+8\overrightarrow{AD}$ (cmt)

$\Rightarrow {\left(14\overrightarrow{AI}\right)}^2={\left(9\overrightarrow{AB}+8\overrightarrow{AD}\right)}^2=81{\overrightarrow{AB}}^2+144\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+64{\overrightarrow{AD}}^2$

$\Rightarrow 194A{I}^2=81A{B}^2+64A{D}^2=81.4+64.9=900$

$\Rightarrow A{I}^2=\frac{900}{196}$

$\Rightarrow AI=\frac{30}{14}=\frac{15}{7}$

Ta có: $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB}=\frac{9}{14}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{7}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\frac{4}{7}\overrightarrow{AD}-\frac{5}{14}\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow$ $B{I}^2={\left(\frac{4}{7}\overrightarrow{AD}-\frac{5}{14}\overrightarrow{AB}\right)}^2=\frac{16}{49}{\overrightarrow{AD}}^2-\frac{20}{49}\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}+\frac{25}{196}{\overrightarrow{AB}}^2$

$\Rightarrow$ $B{I}^2=\frac{16}{49}{\overrightarrow{AD}}^2+\frac{25}{196}{\overrightarrow{AB}}^2=\frac{16}{49}.9+\frac{25}{196}.4=\frac{169}{49}$

$\Rightarrow$ $BI=\frac{13}{7}$