Giải bài 4.60 trang 70 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ lấy các điểm $M,N,$ không trùng với $B$ và $C$ sao cho $BM=MN=NC.$

a) Chứng minh rằng hai tam giác $ABC$ và $AMN$ có cùng trọng tâm.

b) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Đặt $\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{v}.$ hãy biểu thị các vectơ sau qua hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}:\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GM},\overrightarrow{GN}.$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow$ hai tam giác $ABC$ và $AMN$ có cùng trọng tâm.

b) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Đặt $\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{v}.$

Ta có: $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=-\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)$

Ta có: $\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BM}$

$=\overrightarrow{GB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

$\begin{array}{l}=\overrightarrow{GB}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GB}\right)\\ =\frac{2}{3}\overrightarrow{GB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{GC}=\frac{1}{3}\left(2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\end{array}$

Ta có: $\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CN}$

 $\begin{array}{l}=\overrightarrow{GC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}\\ =\overrightarrow{GC}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}\right)\\ =\frac{1}{3}\overrightarrow{GB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{GC}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}\right)\end{array}$