Giải bài 6.60 trang 26 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để:

a)      Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{m{x}^2-2mx+5}}$ có tập xác định $\mathbb{R}$

b)      Tam thức bậc hai $y=-x^2+mx-1$ có dấu không phụ thuộc vào x

c)      Hàm số $y=\sqrt{-2x^2+mx-m-6}$ có tập xác định chỉ gồm một phần tử

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{m{x}^2-2mx+5}}$

+) Với m = 0 thì hàm số có dạng $y=\frac{1}{\sqrt{5}}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$. Do đó m = 0 thỏa mãn
+) Với m ≠ 0, hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{m{x}^2-2mx+5}}$ có tập xác định $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m{x}^2-2m\mathrm{x}+5>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ 

Ta có: $m{x}^2-2m\mathrm{x}+5>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$$\iff m>0$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-5m<0$ $\iff m>0$ và $0<m<5$ $\iff 0<m<5$

Kết hợp các điều kiện, với $m\in [0;5)$ thì hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{m{x}^2-2mx+5}}$ có tập xác định $\mathbb{R}$

b) Tam thức bậc hai $y=-x^2+mx-1$ có a = -1 < 0

Khi đó$y=-x^2+mx-1$ có dấu không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi $y=-x^2+mx-1$ < 0 $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

$\iff$$\mathrm{\Delta }=m^2-4<0\iff -2<m<2$

Vậy với $m\in (-2;2)$ thì Tam thức bậc hai $y=-x^2+mx-1$ có dấu không phụ thuộc vào x

c) Hàm số  $y=\sqrt{-2x^2+mx-m-6}$có tập xác định chỉ gồm một phần tử khi và chỉ khi

$-2x^2+mx-m-6=0$ có nghiệm kép $\iff \mathrm{\Delta }=m^2-8(m+6)=0$

 $\iff m^2-8m-48=0\iff m=-4$hoặc m = 12

Vậy với $m\in \{-4;12\}$ thì Hàm số  $y=\sqrt{-2x^2+mx-m-6}$có tập xác định chỉ gồm một phần tử .