Giải bài 5 trang 69 sách bài tập toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi góc $x\left(0^{\circ }\le x\le {90}^{\circ }\right)$, ta đều có:

a) $\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}$ 

b) $\cos x=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}$

c) ${\tan }^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\left(x\ne {90}^{\circ }\right)$               d) ${\cot }^{2}x=\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}\left(x\ne 0^{\circ }\right)$

Lời giải chi tiết

a) Theo định nghĩa ta có $\sin x=y_0,\cos x=x_0$

Với $\left(x_0,y_0\right)$ là tọa độ điểm M sao cho $\widehat{xOM}=x$

Ta có $x^2+y^2=1\iff {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

$\Rightarrow {\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$

Mà $0^{\circ }\le x\le {90}^{\circ }$ nên $\sin x>0$

$\Rightarrow \sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}$

b) Tương tự câu a) ta có:

$\begin{array}{l}{x}^2+y^2=1\iff {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\\ \Rightarrow {\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x\end{array}$

Mà $0^{\circ }\le x\le {90}^{\circ }$ nên $\cos x>0$$\Rightarrow \cos x=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}$

c) Với $x_0\ne 0$ ta có

 $\tan x=\frac{y_0}{x_0}=\frac{\sin x}{\cos x},\cos x\ne 0$ 

$\Rightarrow {\tan }^{2}x={\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^2\Rightarrow {\tan }^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$  (với $\cos x\ne 0\iff x\ne {90}^{\circ }$)   đpcm

c) Với $y_0\ne 0$ ta có

 $\cot x=\frac{x_0}{y_0}=\frac{\cos x}{\sin x},\sin x\ne 0$  

$\Rightarrow {\cot }^{2}x={\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)}^2\Rightarrow {\cot }^{2}x=\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}$ (với $\sin x\ne 0\iff x\ne 0^{\circ }$)     đpcm