Giải bài 2.25 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

2024-09-14 10:33:16

Đề bài

Khai triển đa thức ${(1 + 2 x)}^{12}$ thành dạng $a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . . . + a_{12} x^{12}$ .

Tìm hệ số $a_{k}$ lớn nhất?

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} {(1 + 2 x)}^{12} = C_{12}^{0} + C_{12}^{1} 2 x + C_{12}^{2} {(2 x)}^{2} + . . . + C_{12}^{12} (2 x)^{12} \\ \Rightarrow a_{k} = 2^{k} C_{12}^{k} \end{array}$

Để $a_{k}$ lớn nhất thì $a_{k - 1} \leq a_{k} \geq a_{k + 1} \forall k$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2^{k - 1} C_{12}^{k - 1} \leq 2^{k} C_{12}^{k} \geq 2^{k + 1} C_{12}^{k + 1} \\ \Leftrightarrow \frac{12!}{(k - 1)! (13 - k)!} \leq 2 \frac{12!}{k! (12 - k)!} \geq 2^{2} \frac{12!}{(k + 1)! (11 - k)!} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{(13 - k) (12 - k)} \leq 2. \frac{1}{k (12 - k)} \geq 2^{2} \frac{1}{k (k + 1)} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} \frac{1}{(13 - k) (12 - k)} \leq 2. \frac{1}{k (12 - k)} \\ 2. \frac{1}{k (12 - k)} \geq 2^{2} \frac{1}{k (k + 1)} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} \frac{1}{13 - k} \leq \frac{2}{k} \\ \frac{1}{12 - k} \geq \frac{2}{k + 1} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} k \leq 2. (13 - k) \\ k + 1 \geq 2. (12 - k) \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \frac{23}{3} \leq k \leq \frac{26}{3} \Rightarrow k = 8 (k \in N) \end{array}$

Vậy $a_{8}$ là lớn nhất.

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

We using AI and power community to slove your question

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"