Giải mục 1 trang 40, 41 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức

HĐ1

Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (H.3.1)

a) Tìm tọa độ các giao điểm của elip với các trục tọa độ

b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc elip thì các điểm có tọa độ $(x_0;-y_0),(-x_0;y_0),(-x_0;-y_0)$ cũng thuộc Elip.

c) Với điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc elip, hãy so sánh $O{M}^2$ với $a^2,b^2$

Lời giải chi tiết:

a)

$y=0\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=1\Rightarrow x=\pm a$

Giao điểm của elip với Ox là $A_1\left(-a;0\right),A_2\left(a;0\right).$

$x=0\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow y=\pm b$

Giao điểm của elip với Oy là $B_1\left(0;-b\right),B_2\left(0;b\right).$

b) Nếu điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc elip thì $\frac{{x_0}^2}{a^2}+\frac{{y_0}^2}{b^2}=1$

$\Rightarrow \frac{{x_0}^2}{a^2}+\frac{{(-y_0)}^2}{b^2}=1;\frac{{(-x_0)}^2}{a^2}+\frac{{y_0}^2}{b^2}=1;\frac{{(-x_0)}^2}{a^2}+\frac{{(-y_0)}^2}{b^2}=1$

hay các điểm có tọa độ $(x_0;-y_0),(-x_0;y_0),(-x_0;-y_0)$ cũng thuộc Elip.

c) Từ H.3.1 dễ thấy $a>b$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{{x_0}^2}{a^2}+\frac{{y_0}^2}{a^2}\le \frac{{x_0}^2}{a^2}+\frac{{y_0}^2}{b^2}\le \frac{{x_0}^2}{b^2}+\frac{{y_0}^2}{b^2}\\ \iff \frac{{x_0}^2}{a^2}+\frac{{y_0}^2}{a^2}\le 1\le \frac{{x_0}^2}{b^2}+\frac{{y_0}^2}{b^2}\\ \iff b^2\le {x_0}^2+{y_0}^2\le a^2\\ \iff b^2\le O{M}^2\le a^2\end{array}$

Luyện tập 1

Viết phương trình chính tắc của elip với độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Trong đó:

+ Độ dài trục lớn: $2a$

+ Tiêu cự: $2c=2\sqrt{a^2-b^2}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

+ Độ dài trục lớn: $2a=10\Rightarrow a=5$

+ Tiêu cự: $2c=2\sqrt{a^2-b^2}=6\Rightarrow \sqrt{5^2-b^2}=3\Rightarrow b^2=16$

Phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

Luyện tập 2

(Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phương trình $x^2+y^2=a^2$ và số k $(0<k<1)$. Với mỗi điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường tròn, gọi $H(x_0;0)$ là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho $HN=kHM$ (H.3.5)

a) Tính tọa độ của N theo $x_0;y_0;k.$

b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên Elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{(ka)}^2}=1$

Lời giải chi tiết:

Gọi $N(x_N;y_N)$.

N thuộc đoạn MH và $HN=kHM\Rightarrow \overrightarrow{HN}=k\overrightarrow{HM}$

$\begin{array}{l}\iff (x_N-x_0;y_N)=k(0;y_0)\\ \iff \{\begin{array}{c}{x}_N-x_0=k.0\\ y_N=k.y_0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_N=x_0\\ y_N=k.y_0\end{array}\end{array}$

Vì $M(x_0;y_0)$ thuộc (C) $x^2+y^2=a^2$ nên

${x_0}^2+{y_0}^2=a^2\iff {x_N}^2+{\left(\frac{y_N}{k}\right)}^2=a^2\iff \frac{{x_N}^2}{a^2}+\frac{{y_N}^2}{{(ka)}^2}=1$

Vậy N thuộc Elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{(ka)}^2}=1$