Giải bài 7 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hàng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp). Gọi $T_n(n\ge 1)$ là tổng tiền vốn và lãi của nười đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ $n+1$.

a) Tính $T_1,T_2,T_3$.

b) Dự đoán công thức tính $T_n$ và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Gợi ý: Lưu ý công thức ở Thực hành 4.

Lời giải chi tiết

a) $T_1$ là tổng tiền vốn và lãi của nười đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 2, do đó: $T_1=a+a.r+a=a\left(\left(1+r\right)+1\right)$

$T_2=T_1(1+r)+a=a\left(\left(1+r\right)+1\right)\left(r+1\right)+a=a\left({\left(1+r\right)}^2+\left(1+r\right)+1\right)$

$T_3=T_2(1+r)+a=a\left({\left(1+r\right)}^2+\left(1+r\right)+1\right)\left(r+1\right)+a=a\left({\left(1+r\right)}^3+{\left(1+r\right)}^2+\left(1+r\right)+1\right)$

b) Từ a) ta dự đoán rằng

$T_n=a\left({\left(1+r\right)}^n+{\left(1+r\right)}^{n-1}+...+\left(1+r\right)+1\right)=a.\frac{1-{\left(1+r\right)}^{n+1}}{1-\left(1+r\right)}=a.\frac{1-{\left(1+r\right)}^{n+1}}{r}$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n=1$ ta có $T_1=a\left(\left(1+r\right)+1\right)$

Như vậy công thức đúng cho trường hợp $n=1$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$, nghĩa là có:

$T_k=a\left({\left(1+r\right)}^k+{\left(1+r\right)}^{k-1}+...+\left(1+r\right)+1\right)$

Ta sẽ chứng minh công thức đúng với $n=k+1$, nghĩa là cần chứng minh

$T_{k+1}=a\left({\left(1+r\right)}^{k+1}+{\left(1+r\right)}^k+{\left(1+r\right)}^{k-1}+...+\left(1+r\right)+1\right)$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

$\begin{array}{l}{T}_{k+1}=T_k(1+r)+a=a\left({\left(1+r\right)}^k+{\left(1+r\right)}^{k-1}+...+\left(1+r\right)+1\right)\left(1+r\right)+a\\ =a\left({\left(1+r\right)}^{k+1}+{\left(1+r\right)}^k+{\left(1+r\right)}^{k-1}+...+\left(1+r\right)+1\right)\end{array}$

Vậy công thức đúng với $n=k+1$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất công thức đúng với mọi $n\in \mathbb{N}\ast$.