Giải mục 1 trang 42, 43 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo

HĐ1

Cho elip (E) có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(0<b<a)$ và cho điểm $M(x_0;y_0)$ nằm trên (E). Các điểm $M_1(-x_0;y_0),M_2(x_0;-y_0),M_3(-x_0;-y_0)$ có thuộc (E) hay không?

Lời giải chi tiết:

Nếu điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc elip thì $\frac{{x_0}^2}{a^2}+\frac{{y_0}^2}{b^2}=1$

$\Rightarrow \frac{{x_0}^2}{a^2}+\frac{{(-y_0)}^2}{b^2}=1;\frac{{(-x_0)}^2}{a^2}+\frac{{y_0}^2}{b^2}=1;\frac{{(-x_0)}^2}{a^2}+\frac{{(-y_0)}^2}{b^2}=1$

hay các điểm có tọa độ $M_1(-x_0;y_0),M_2(x_0;-y_0),M_3(-x_0;-y_0)$ cũng thuộc Elip.

Thực hành 1

Viết phương trình chính tắc của elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy xác định tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của elip này.

Phương pháp giải:

Cho elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(0<b<a)$

+ 4 đỉnh là $A_1\left(-a;0\right),A_2\left(a;0\right),B_1\left(0;-b\right),B_2\left(0;b\right).$

+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 2a và 2b.

+ Tiêu điểm $F_1(-c;0),F_2(c;0),$

+ Tiêu cự: $2c=2\sqrt{a^2-b^2}$

+ Độ dài trục lớn: $2a$, độ dài trục nhỏ: $2b$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6.

$\Rightarrow$ Độ dài trục lớn: $2a=8\iff a=4$, độ dài trục nhỏ: $2b=6\iff b=3$

Phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$

+ 4 đỉnh là $A_1\left(-4;0\right),A_2\left(4;0\right),B_1\left(0;-3\right),B_2\left(0;3\right).$

+ Tiêu điểm $F_1(-c;0),F_2(c;0),$

+ Tiêu cự: $2c=2\sqrt{4^2-3^2}=2\sqrt{7}$

+ Độ dài trục lớn: $2a=8$, độ dài trục nhỏ: $2b=6$

Vận dụng 1

Hãy gấp một mảnh giấy hình elip (Hình 5) thành 4 phần chồng khít lên nhau

Lời giải chi tiết:

Tưởng tượng elip có phương trình chính tắc trên mặt phẳng tọa độ, khi đó ta chỉ cần gập theo các trục tọa độ.