Giải bài 2 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm các điểm trên elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ có độ dài hai bán kính qua tiêu nhỏ nhất, lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Elip  $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ có nửa tiêu cự bằng $c=\sqrt{a^2-b^2}$.

Với mỗi điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc elip, ta có bán kính qua tiêu của M ứng với tiêu điểm  $F_1$ là $M{F}_1=a+\frac{c}{a}{x}_0$, ứng với tiêu điểm $F_2$ là $M{F}_2=a-\frac{c}{a}{x}_0$

Mặt khác $M(x_0;y_0)$ thuộc elip nên $-a\le x_0\le a$.

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}a-c\le M{F}_1=a+\frac{c}{a}{x}_0\le a+c\\ a-c\le M{F}_2=a-\frac{c}{a}{x}_0\le a+c\end{array}$

Hơn nữa,

$\begin{array}{l}M{F}_1=a-c\iff x_0=-a,y_0=0\\ M{F}_1=a+c\iff x_0=a,y_0=0\\ M{F}_2=a-c\iff x_0=a,y_0=0\\ M{F}_1=a+c\iff x_0=-a,y_0=0\end{array}$

Vậy $M{F}_1$ nhỏ nhất bằng $a-c$ khi M trùng $A_1(-a;0)$ và lớn nhất bằng $a+c$ khi M trùng $A_2(a;0)$; $M{F}_2$ nhỏ nhất bằng $a-c$ khi M trùng $A_2(a;0)$ và lớn nhất bằng $a+c$ khi M trùng $A_1(-a;0)$.