Giải mục 1 trang 31, 32 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều

Câu 1

a) Quan sát khai triển biểu thức sau:

$(a+b{)}^5=C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{5-1}{b}^1+C_5^2{a}^{5-2}{b}^2+C_5^3{a}^{5-3}{b}^3+C_5^4{a}^{5-4}{b}^4+C_5^5{b}^5$

Từ đó nêu dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức $(a+b{)}^5$

b) Xét biểu thức $(a+b{)}^n$ với $n\in \mathbb{N}\ast ,n\ge 2$

Nêu dự đoán về dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức $(a+b{)}^n$

Lời giải chi tiết:

a) Dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức $(a+b{)}^5$ là: $C_5^k{a}^{5-k}{b}^k$ với $0\le k\le 5$

b) Dự đoán: Dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức $(a+b{)}^n$ là: $C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ với $0\le k\le n$

Câu 2

Khai triển biểu thức ${\left(x+2\right)}^7$

Phương pháp giải:

$(a+b{)}^7=C_7^0{a}^7+C_7^1{a}^{6}b+C_7^2{a}^5{b}^2+C_7^3{a}^4{b}^3+C_7^4{a}^3{b}^4+C_7^5{a}^2{b}^5+C_7^{6}a{b}^6+C_7^7{b}^7$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l}(x+2{)}^7=C_7^0{x}^7+C_7^1{x}^6.2+C_7^2{x}^5{2}^2+C_7^3{x}^4{2}^3+C_7^4{x}^3{2}^4+C_7^5{x}^2{2}^5+C_7^{6}x{.2}^6+C_7^7{2}^7\\ =x^7+14x^6+84x^5+280x^4+560x^3+672x^2+448x+128\end{array}$

Câu 3

Cho $n\in \mathbb{N}\ast$. Chứng minh $C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^{n-1}+C_n^n=2^n$

Phương pháp giải:

Công thức nhị thức Newton: $(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+...+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+...+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n$

Cho $a=b=1$, ta được:

$C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n=(1+1{)}^n=2^n$