Giải bài 8 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+...+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n$ với $n\in \mathbb{N}\ast$

Lời giải chi tiết

Công thức nhị thức Newton: $(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+...+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n$

Ta chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n=1$ ta có $(a+b{)}^1=C_1^{0}a+C_1^{1}b(=a+b)$

Như vậy công thức đúng với $n=1$

Bước 2: Giả sử công thức đúng với $n=k$, nghĩa là có:

$(a+b{)}^k=C_k^0{a}^k+C_k^1{a}^{k-1}b+...+C_k^{k-1}a{b}^{k-1}+C_k^k{b}^k$

Ta sẽ chứng minh công thức cũng đúng với $n=k+1$, nghĩa là cần chứng minh

$(a+b{)}^{k+1}=C_{k+1}^0{a}^{k+1}+C_{k+1}^1{a}^{k}b+...+C_{k+1}^{k}a{b}^k+C_{k+1}^{k+1}{b}^{k+1}$

Thật vậy ta có

$\begin{array}{l}(a+b{)}^{k+1}=(a+b{)}^k(a+b)=\left(C_k^0{a}^k+C_k^1{a}^{k-1}b+...+C_k^{k-1}a{b}^{k-1}+C_k^k{b}^k\right)(a+b)\\ =\left(C_k^0{a}^k+C_k^1{a}^{k-1}b+...+C_k^{k-1}a{b}^{k-1}+C_k^k{b}^k\right)a+\left(C_k^0{a}^k+C_k^1{a}^{k-1}b+...+C_k^{k-1}a{b}^{k-1}+C_k^k{b}^k\right)b\\ =\left(C_k^0{a}^{k+1}+C_k^1{a}^{k}b+...+C_k^{k-1}{a}^2{b}^{k-1}+C_k^{k}a{b}^k\right)+\left(C_k^0{a}^{k}b+C_k^1{a}^{k-1}{b}^2+...+C_k^{k-1}a{b}^k+C_k^k{b}^{k+1}\right)\\ =C_k^0{a}^{k+1}+\left(C_k^1+C_k^0\right)a^{k}b+...+\left(C_k^m+C_k^{m-1}\right)a^{k+1-m}{b}^m+...+\left(C_k^k+C_k^{k-1}\right)a{b}^k+C_k^k{b}^{k+1}\end{array}$

Mà $C_k^m+C_k^{m-1}=C_{k+1}^m(0\le m\le k),C_k^0=C_{k+1}^0=1,C_k^k=C_{k+1}^{k+1}=1$

$\Rightarrow (a+b{)}^{k+1}=C_{k+1}^0{a}^{k+1}+C_{k+1}^1{a}^{k}b+...+C_{k+1}^{k}a{b}^k+C_{k+1}^{k+1}{b}^{k+1}$

Vậy công thức đúng với mọi số tự nhiên $n\ge 1$