Giải bài 46 trang 92 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh đôi một khác nhau. Gọi H, O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác, D là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}$

Lời giải chi tiết

Gọi E là điểm đối xứng với A qua O . Khi đó AE là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

Tứ giác ADEH có O là trung điểm HD và AE nên là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{HD}$(1)

Lại có: $\widehat{ACE}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{ACE}={90}^0$$\Rightarrow EC\mathrm{\perp }AC$, mà $BH\mathrm{\perp }AC$

$\Rightarrow EC//BH$

Chứng minh tương tự ta có $BE//HC$

Tứ giác BHCE có $EC//BH$, $BE//HC$ nên là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HE}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{HD}$ (ĐPCM)