Giải bài 54 trang 100 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P thoả mãn $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AN}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AN},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NP}$ theo các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, M là trung điểm AB, N nằm giữa A và C, P nằm giữa A và D

a) Ta có:

+ $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$. Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AN}=\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$

+ $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$mà $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$, $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$

nên $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}=-\frac{3}{10}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}$

+ $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AN}$ mà $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$, $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

nên $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{b}-\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=-\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{15}\overrightarrow{b}$

Vậy $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$; $\overrightarrow{MN}=-\frac{3}{10}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{NP}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{15}\overrightarrow{b}$

b) Theo a, $\overrightarrow{MN}=-\frac{3}{10}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{NP}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{15}\overrightarrow{b}$  $\Rightarrow \overrightarrow{MN}=-\frac{3}{10}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{15}\overrightarrow{b}\right)=\frac{3}{2}\overrightarrow{NP}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NP}$ cùng phương. Vậy 3 điểm M, N, P thẳng hàng.