Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 2

2024-09-14 10:44:51

Đề bài

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Điều kiện để tam thức bậc hai $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ nhận giá trị âm với mọi $x \in R$ là:

A. $Δ > 0$ .

B. $Δ < 0$ .

C. $Δ < 0$ và $a > 0$ .

D. $Δ < 0$ và $a < 0$ .

Câu 2: Bảng xét dấu sau đây là của tam thức bậc hai nào?

A. $x^{2} - x + 6$ .

B. $x^{2} + x + 6$ .

C. $x^{2} - x - 6$ .

D. $- x^{2} + x - 6$ .

Câu 3: Nghiệm của bất phương trình $x^{2} - 8 x + 15 \leq 0$ là:

A. $x \in [3; 5]$ .

B. $x \in (3; 5)$ .

C. $x \in (- \infty; 3] \cup [5; + \infty)$ .

D. $x \in (- \infty; 3) \cup (5; + \infty)$ .

Câu 4: Với giá trị nào của $m$ thì bất phương trình $- x^{2} - x + m \geq 0$ vô nghiệm?

A. $m \geq - \frac{1}{4}$ .

B. $m > - \frac{1}{4}$ .

C. $m \leq - \frac{1}{4}$ .

D. $m < - \frac{1}{4}$ .

Câu 5: Một đường hầm xuyên thẳng qua núi và có mặt cắt là một parabol (thông số như hình bên). Giả sử một chiếc xe tải có chiều ngang $6 m$ đi vào vị trí chính giữa miệng hầm. Hỏi chiều cao $h$ của xe tải cần thoả mãn điều kiện gì để có thể đi vào cửa hầm mà không chạm tường?

A. $0 < h < 6$ .

B. $0 < h \leq 6$ .

C. $0 < h < 7$ .

D. $0 < h \leq 7$ .

Câu 6: Giá trị nào của $m$ thì phương trình $(m - 3) x^{2} + (m + 3) x - (m + 1) = 0$ có hai nghiệm phân biệt?

A. $m \in (- \infty; - \frac{3}{5}) \cup (1; + \infty) ∖ {3}$ .

B. $m \in (- \frac{3}{5}; 1)$ .

C. $m \in (- \frac{3}{5}; + \infty)$ .

D. $m \in R ∖ {3}$ .

Câu 7: Tìm các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $- x^{2} + (2 m - 1) x + m < 0$ có tập nghiệm là $R$ .

A. $m = \frac{1}{2}$ .

B. $m = - \frac{1}{2}$ .

C. $m \in R$ .

D. Không tồn tại $m$ .

Câu 8: Với giá trị nào của $m$ thì bất phương trình $x^{2} - x + m \leq 0$ vô nghiệm?

A. $m < 1$ .

B. $m > 1$ .

C. $m < \frac{1}{4}$ .

D. $m > \frac{1}{4}$ .

Câu 9: Bất phương trình $x^{2} - (m + 2) x + m + 2 \leq 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi:

A. $m \in (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ .

B. $m \in (- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ .

C. $m \in [- 2; 2]$ .

D. $m \in (- 2; 2)$ .

Câu 10: Xác định $m$ để với mọi $x$ , ta có $- 1 \leq \frac{x^{2} + 5 x + m}{2 x^{2} - 3 x + 2} < 7$ .

A. $- \frac{5}{3} \leq m < 1$ .

B. $1 < m \leq \frac{5}{3}$ .

C. $m \leq - \frac{5}{3}$ .

D. $m < 1$ .

Câu 11: Xác định $m$ để $(x - 1) [x^{2} + 2 (m + 3) x + 4 m + 12] = 0$ có ba nghiệm phân biệt lớn hơn $- 1$ .

A. $m < - \frac{7}{2}$

B. $- 2 < m < 1$ và $m \neq - \frac{16}{9}$ .

C. $- \frac{7}{2} < m < - 1$ và $m \neq - \frac{16}{9}$ .

D. $- \frac{7}{2} < m < - 3$ và $m \neq - \frac{19}{6}$ .

Câu 12: Tam thức bậc hai $f (x) = x^{2} + (\sqrt{5} - 1) x - \sqrt{5}$ nhận giá trị dương khi?

A. $x \in (- \sqrt{5}; 1)$ .

В. $x \in (- \infty; - \sqrt{5}) \cup (1; + \infty)$ .

C. $x \in (- \sqrt{5}; + \infty)$ .

D. $x \in (- \infty; 1)$ .

Câu 13: Cho phương trình $\sqrt{x^{4} - 3 x^{2} + 2} = x^{2} + 2$ . Nếu đặt $t = x^{2}, t \geq 0$ thì phương trình đã cho trở thành phương trình nào sau đây?

A. $\sqrt{t^{2} - 3 t + 2} = t^{2} + 2$ .

B. $\sqrt{t^{2} - 3 t + 2} = t + 2$ .

C. $\sqrt{t^{2} - 3 t + 2} = t - 2$ .

D. $\sqrt{t^{2} + 3 t - 2} = t + 2$ .

Câu 14: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^{2} - 4 | x | + 3} = 2 x - 1$ là:

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 0.

Câu 15: Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{x^{2} - 4 x + 3} = x + 1$ là:

A. $S = \emptyset$ .

B. $S = {\frac{1}{3}}$ .

C. $S = {3}$ .

D. $S = {1}$ .

Câu 16: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^{2} - 3 x + 2} = \sqrt{2 x^{2} - 7 | x | + 4}$ là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 17: Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{3 x^{2} - 6 x - 4} = \sqrt{x - 8}$ là

A. $S = {\frac{3}{4}; 1}$ .

B. $S = {\frac{3}{4}}$ .

C. $S = {1}$ .

D. $S = \emptyset$ .

Câu 18: Phương trình $2 x^{2} - 6 x + 4 = 3 \sqrt{x^{3} + 8}$ có hai nghiệm dạng $x = a \pm b \sqrt{13}$ với $a, b \in N$ . Tính $a^{2} - b$ .

A. 0.

B. 1.

C. 8.

D. $- 1$ .

Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$ cho các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ được vẽ ở hình bên. Ta có các khẳng định sau:

A) $\vec{a} = (2; - 3)$ ;

B) $\vec{b} = (- 3; 0)$ ;

C) $\vec{c} = (5; 1)$ ;

D) $\vec{d} = (4; 0)$ .

Số khẳng định đúng là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$ , cho $\vec{a} = (2; - 3), \vec{b} = (- 2; 5)$ . Toạ độ của vectơ $- \vec{a} + 3 \vec{b}$ là:

A. $(8; 18)$ .

B. $(- 8; - 18)$ .

C. $(- 8; 18)$ .

D. $(8; - 18)$ .

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$ , cho $\vec{a} = (1; 2), \vec{b} = (3; - 3)$ . Toạ độ của vectơ $\vec{c} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b}$ là:

A. $(- 3; 12)$ .

B. $(3; 12)$ .

C. $(9; 0)$ .

D. $(- 3; 0)$ .

Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$ , cho hai điểm $A (5; 4), B (- 1; 0)$ . Đường trung trực của đoạn thẳng $A B$ có phương trình là:

A. $x - 2 y + 5 = 0$ .

B. $3 x + 2 y - 10 = 0$ .

C. $3 x + 2 y - 5 = 0$ .

D. $2 x + 3 y - 1 = 0$ .

Câu 23: Trong mặt phẳng tọ̣ độ $O x y$ , cho ba điểm $A (2; 4), B (0; - 2), C (5; 3)$ . Đường thẳng đi qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $B C$ có phương trình là:

A. $x - y + 5 = 0$ .

B. $x + y - 5 = 0$ .

C. $x - y + 2 = 0$ .

D. $x + y = 0$ .

Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$ , cho ba điểm $A (5; 2), B (5; - 2), C (4; - 3)$ . Đường thẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $B C$ có phương trình là:

A. $x - y + 7 = 0$ .

B. $x + y - 7 = 0$ .

C. $x - y - 5 = 0$ .

D. $x + y = 0$ .

Câu 25: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $A (1; - 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} (2; - 1)$ là:

A. $2 x + y - 5 = 0$ .

B. $2 x - y - 5 = 0$ .

C. $x + 2 y + 5 = 0$ .

D. $x + 2 y - 5 = 0$ .

Câu 26: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M (2; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} (- 1; 4)$ là:

A. ${\begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 1 - 4 t \end{array}$ .

B. ${\begin{array}{l} x = - 1 + 2 t \\ y = 4 + t \end{array}$ .

C. ${\begin{array}{l} x = 1 + 4 t \\ y = 2 - t \end{array}$ .

D. ${\begin{array}{l} x = 2 - t \\ y = 1 + 4 t \end{array}$ .

Câu 27: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $M (- 1; 0), N (3; 1)$ là:

A. $x - 4 y + 1 = 0$ .

B. $x - 4 y - 1 = 0$ .

C. $4 x + y + 4 = 0$ .

D. $4 x + y - 4 = 0$ .

Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $d$ : ${\begin{array}{l} x = - 1 - 2 t \\ y = 4 + 3 t . \end{array}$ Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là

A. $\vec{u} = (- 1; 4)$ .

B. $\vec{u} = (- 2; 3)$ .

C. $\vec{u} = (3; - 2)$ .

D. $\vec{u} = (2; 3)$ .

Câu 29: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$ , cho điểm $M (2; 4)$ và đường thẳng $Δ : {\begin{array}{l} x = 5 + 3 t \\ y = - 5 - 4 t \end{array}$ . Khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $Δ$ là:

A. $\frac{5}{2}$ .

B. 3.

C. 5.

D. $\frac{9}{5}$ .

Câu 30: Cho hai đường thẳng $d_{1} : 3 x - 4 y + 5 = 0, d_{2} : 4 x - 3 y + 2 = 0$ . Điểm $M$ nào sau đây cách đều hai đường thẳng trên?

A. $M (1; 0)$ .

B. $M (2; 3)$ .

C. $M (4; - 2)$ .

D. $M (- 1; 2)$ .

Câu 31: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $Δ : x - 2 y - 3 = 0$ . Đường thẳng nào sau đây có vị trí tương đối trùng với đường thẳng $Δ$ ?

A. $Δ_{1} : x + 2 y - 3 = 0$ .

B. $Δ_{2} : 2 x + y - 3 = 0$ .

C. $Δ_{3} : 2 x - 4 y - 1 = 0$ .

D. $Δ_{4} : 2 x - 4 y - 6 = 0$ .

Câu 32: Góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1} : {\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + \sqrt{3} t \end{matrix}$ và $Δ_{2} : {\begin{matrix} x = 3 - \sqrt{3} t \\ y = 5 - t \end{matrix}$ là

A. $30^{0}$ .

B. $45^{0}$ .

C. $60^{0}$ .

D. $90^{0}$ .

Câu 33: Đường tròn nào sau đây có tâm là $I (- 3; 5)$ và có bán kính là $R = 4$ ?

A. $x^{2} + y^{2} - 3 x + 5 y + 9 = 0$ .

B. $x^{2} + y^{2} - 3 x + 5 y - 9 = 0$ .

C. $x^{2} + y^{2} + 6 x - 10 y - 18 = 0$ .

D. $x^{2} + y^{2} + 6 x - 10 y + 18 = 0$ .

Câu 34: Phương trình đường tròn có tâm $I (1; 2)$ và đi qua điểm $A (- 1; 3)$ là:

A. $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ .

B. $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5$ .

C. $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ .

D. $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ .

Câu 35: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$ , cho hai điểm $A (- 4; 6)$ và $B (- 2; 4)$ . Phương trình đường tròn có đường kính $A B$ là:

A. $(x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 2$ .

B. $(x + 3)^{2} + (y + 5)^{2} = 2$ .

C. $(x - 3)^{2} + (y + 5)^{2} = 2 \sqrt{2}$ .

D. $(x - 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 2 \sqrt{2}$

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Một vật chuyển động có vận tốc (mét/giây) được biểu diễn theo thời gian $t$ (giây) bằng công thức $v (t) = \frac{1}{2} t^{2} - 4 t + 10$ .

a) Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu giây thì vận tốc của vật không bé hơn $10 m / s$ (biết rằng $t > 0$ )?

b) Trong 10 giây đầu tiên, vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Bài 2. Giải phương trình sau: $\sqrt{2 x^{2} + 5} = \sqrt{x^{2} - x + 11}$ .

Bài 3. Cho các vectơ $\vec{a} = (1; - 2), \vec{b} = (- 2; - 6), \vec{c} = (m + n; - m - 4 n)$ .

a) Hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ có cùng phương không? Tìm góc tạo bởi hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ .

b) Tìm hai số $m, n$ sao cho $\vec{c}$ cùng phương $\vec{a}$ và $| \vec{c} | = 3 \sqrt{5}$ .

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng $Δ$ biết rằng:

a) $Δ$ chắn các trục tọa độ tại hai điểm $A (- 4; 0), B (0; - 2)$ .

b) $Δ$ qua điểm $E (2; 3)$ , đồng thời cắt các tia $O x, O y$ tại các điểm $M, N$ (khác gốc tọa độ $O$ ) biết rằng $O M + O N$ bé nhất.

-------- Hết --------

Lời giải

Phần trắc nghiệm

Câu 1. D	Câu 2. C	Câu 3. A	Câu 4. D	Câu 5. A	Câu 6. A	Câu 7. D
Câu 8. D	Câu 9. D	Câu 10. A	Câu 11. D	Câu 12. B	Câu 13. B	Câu 14. A
Câu 15. B	Câu 16. D	Câu 17. D	Câu 18. C	Câu 19. C	Câu 20. C	Câu 21. A
Câu 22. B	Câu 23. C	Câu 24. B	Câu 25. B	Câu 26. D	Câu 27. A	Câu 28. B
Câu 29. B	Câu 30. B	Câu 31. D	Câu 32. A	Câu 33. D	Câu 34. C	Câu 35. A

Câu 1: Điều kiện để tam thức bậc hai $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ nhận giá trị âm với mọi $x \in R$ là:

A. $Δ > 0$ .

B. $Δ < 0$ .

C. $Δ < 0$ và $a > 0$ .

D. $Δ < 0$ và $a < 0$ .

Lời giải

Đáp án D.

Câu 2: Bảng xét dấu sau đây là của tam thức bậc hai nào?

A. $x^{2} - x + 6$ .

B. $x^{2} + x + 6$ .

C. $x^{2} - x - 6$ .

D. $- x^{2} + x - 6$ .

Lời giải

Đáp án C.

Câu 3: Nghiệm của bất phương trình $x^{2} - 8 x + 15 \leq 0$ là:

A. $x \in [3; 5]$ .

B. $x \in (3; 5)$ .

C. $x \in (- \infty; 3] \cup [5; + \infty)$ .

D. $x \in (- \infty; 3) \cup (5; + \infty)$ .

Lời giải

Đáp án A.

Câu 4: Với giá trị nào của $m$ thì bất phương trình $- x^{2} - x + m \geq 0$ vô nghiệm?

A. $m \geq - \frac{1}{4}$ .

B. $m > - \frac{1}{4}$ .

C. $m \leq - \frac{1}{4}$ .

D. $m < - \frac{1}{4}$ .

Lời giải

Đáp án D.

A. $0 < h < 6$ .

B. $0 < h \leq 6$ .

C. $0 < h < 7$ .

D. $0 < h \leq 7$ .

Lời giải

Chọn hệ trục toạ độ như hình bên.

Parabol có phương trình dạng $y = a x^{2} + b x$ . Theo đề bài ta có parabol đi qua các điểm $(12; 0)$ và $(6; 8)$ . Suy ra ${\begin{array}{l} \begin{matrix} 144 a + 12 b = 0 \\ 36 a + 6 b = 8 \end{matrix} \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} \begin{matrix} a = - \frac{2}{9} \\ b = \frac{8}{3} \end{matrix} \end{array}$

Do đó $y = - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{8}{3} x$ . Do chiếc xe tải có chiều ngang $6 m$ đi vào vị trí chính giữa hầm nên xe sẽ chạm tường tại điểm $A (3; 6)$ và điểm $B (9; 6)$ . Khi đó chiều cao của xe là $6 m$ . Vậy điều kiện để xe tải có thể đi vào hầm mà không chạm tường là $0 < h < 6$ .

Đáp án A.

Câu 6: Giá trị nào của $m$ thì phương trình $(m - 3) x^{2} + (m + 3) x - (m + 1) = 0$ có hai nghiệm phân biệt?

A. $m \in (- \infty; - \frac{3}{5}) \cup (1; + \infty) ∖ {3}$ .

B. $m \in (- \frac{3}{5}; 1)$ .

C. $m \in (- \frac{3}{5}; + \infty)$ .

D. $m \in R ∖ {3}$ .

Lời giải

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} \begin{matrix} a \neq 0 \\ Δ^{'} > 0 \end{matrix} \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} \begin{matrix} m - 3 \neq 0 \\ (m + 3)^{2} + 4 (m - 3) (m + 1) > 0 \end{matrix} \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} \begin{matrix} m \neq 3 \\ 5 m^{2} - 2 m - 3 > 0 \end{matrix} \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} \begin{matrix} m \neq 3 \\ m < - \frac{3}{5} \lor m > 1 \end{matrix} \end{array}$

Đáp án A.

Câu 7: Tìm các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $- x^{2} + (2 m - 1) x + m < 0$ có tập nghiệm là $R$ .

A. $m = \frac{1}{2}$ .

B. $m = - \frac{1}{2}$ .

C. $m \in R$ .

D. Không tồn tại $m$ .

Lời giải

Bất phương trình $- x^{2} + (2 m - 1) x + m < 0$ có tập nghiệm là $R$ khi và chỉ khi:

Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn đề bài.

Đáp án D.

Câu 8: Với giá trị nào của $m$ thì bất phương trình $x^{2} - x + m \leq 0$ vô nghiệm?

A. $m < 1$ .

B. $m > 1$ .

C. $m < \frac{1}{4}$ .

D. $m > \frac{1}{4}$ .

Lời giải

Ta có: $x^{2} - x + m \leq 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi $x^{2} - x + m > 0, \forall x \in R$ .

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} \begin{matrix} a > 0 \\ Δ < 0 \end{matrix} \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} \begin{matrix} 1 > 0 \\ 1 - 4 m < 0 \end{matrix} \end{array} \Leftrightarrow m > \frac{1}{4} .$ .

Đáp án D.

Câu 9: Bất phương trình $x^{2} - (m + 2) x + m + 2 \leq 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi:

A. $m \in (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ .

B. $m \in (- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ .

C. $m \in [- 2; 2]$ .

D. $m \in (- 2; 2)$ .

Lời giải

Ta có: $x^{2} - (m + 2) x + m + 2 \leq 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi

$x^{2} - (m + 2) x + m + 2 > 0, \forall x \in R \Leftrightarrow {\begin{array}{l} \begin{matrix} a > 0 \\ Δ < 0 \end{matrix} \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} \begin{matrix} 1 > 0 \\ m^{2} - 4 < 0 \end{matrix} \end{array} \Leftrightarrow - 2 < m < 2.$

Đáp án D.

Câu 10: Xác định $m$ để với mọi $x$ , ta có $- 1 \leq \frac{x^{2} + 5 x + m}{2 x^{2} - 3 x + 2} < 7$ .

A. $- \frac{5}{3} \leq m < 1$ .

B. $1 < m \leq \frac{5}{3}$ .

C. $m \leq - \frac{5}{3}$ .

D. $m < 1$ .

Lời giải

Ta có $- 1 \leq \frac{x^{2} + 5 x + m}{2 x^{2} - 3 x + 2} < 7, \forall x \in R$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} - 1 (2 x - 3 x + 2) \leq x^{2} + 5 x + m \\ x^{2} + 5 x + m < 7 (2 x^{2} - 3 x + 2) \end{array}$ có tập nghiệm $R$ (do $2 x^{2} - 3 x + 2 > 0, \forall x \in R)$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} 3 x^{2} + 2 x + m + 2 \geq 0 & (1) \\ 13 x^{2} - 26 x + 14 - m > 0 & (2) \end{cases}$ có tập nghiệm $R$

(1) có tập nghiệm là $R \Leftrightarrow {\begin{array}{l} a_{(1)} = 3 > 0 \\ Δ_{(1)}^{'} = 1^{2} - 3 (m + 2) \leq 0 \end{array} \Leftrightarrow - 5 - 3 m \leq 0$ $\Leftrightarrow m \geq - \frac{5}{3} (3)$

(2) có tập nghiệm là $R \Leftrightarrow {\begin{array}{l} a_{(2)} = 13 > 0 \\ Δ_{(2)}^{'} = {(- 13)}^{2} - 13 (14 - m) < 0 \end{array}$ $\Leftrightarrow - 13 + 13 m < 0 \Leftrightarrow m < 1$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra: $- \frac{5}{3} \leq m < 1$ thỏa mãn đề bài.

Đáp án A.

Câu 11: Xác định $m$ để $(x - 1) [x^{2} + 2 (m + 3) x + 4 m + 12] = 0$ có ba nghiệm phân biệt lớn hơn $- 1$ .

A. $m < - \frac{7}{2}$

B. $- 2 < m < 1$ và $m \neq - \frac{16}{9}$ .

C. $- \frac{7}{2} < m < - 1$ và $m \neq - \frac{16}{9}$ .

D. $- \frac{7}{2} < m < - 3$ và $m \neq - \frac{19}{6}$ .

Lời giải

Ta có: $(x - 1) [x^{2} + 2 (m + 3) x + 4 m + 12] = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x^{2} + 2 (m + 3) x + 4 m + 12 = 0 (*) \end{array}$

Yêu cầu bài toán tương đương $(*)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ lớn hơn $- 1$ và khác $1 (* *)$ .

Theo định li Vi-ét ta có: ${\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = - 2 (m + 3) \\ x_{1} \cdot x_{2} = 4 m + 12 \end{array}$ (giả sử $x_{1} < x_{2})$ .

Do đó $(* *) \Leftrightarrow {\begin{array}{l} Δ^{'} > 0 \\ 1^{2} + 2 (m + 3) \cdot 1 + 4 m + 12 \neq 0 \\ x_{2} > x_{1} > - 1 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} {(m + 3)}^{2} - (4 m + 12) > 0 \\ 6 m + 19 \neq 0 \\ (x_{1} + 1) + (x_{2} + 1) > 0 \\ (x_{1} + 1) (x_{2} + 1) > 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} \begin{matrix} m^{2} + 2 m - 3 > 0 \\ m \neq - \frac{19}{6} \\ - 2 (m + 3) + 2 > 0 \\ 4 m + 12 - 2 (m + 3) + 1 > 0 \end{matrix} \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} \begin{matrix} m < - 3 \lor m > 1 \\ m \neq - \frac{19}{6} \\ m < - 2 \\ m > - \frac{7}{2} \end{matrix} \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} \begin{matrix} - \frac{7}{2} < m < - 3 \\ m \neq - \frac{19}{6} \end{matrix} \end{array}$ .

Đáp án D.

Câu 12: Tam thức bậc hai $f (x) = x^{2} + (\sqrt{5} - 1) x - \sqrt{5}$ nhận giá trị dương khi?

A. $x \in (- \sqrt{5}; 1)$ .

В. $x \in (- \infty; - \sqrt{5}) \cup (1; + \infty)$ .

C. $x \in (- \sqrt{5}; + \infty)$ .

D. $x \in (- \infty; 1)$ .

Lời giải

Ta có bảng xét dấu

Đáp án B.

Câu 13: Cho phương trình $\sqrt{x^{4} - 3 x^{2} + 2} = x^{2} + 2$ . Nếu đặt $t = x^{2}, t \geq 0$ thì phương trình đã cho trở thành phương trình nào sau đây?

A. $\sqrt{t^{2} - 3 t + 2} = t^{2} + 2$ .

B. $\sqrt{t^{2} - 3 t + 2} = t + 2$ .

C. $\sqrt{t^{2} - 3 t + 2} = t - 2$ .

D. $\sqrt{t^{2} + 3 t - 2} = t + 2$ .

Lời giải

Đáp án B.

Câu 14: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^{2} - 4 | x | + 3} = 2 x - 1$ là:

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 0.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 15: Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{x^{2} - 4 x + 3} = x + 1$ là:

A. $S = \emptyset$ .

B. $S = {\frac{1}{3}}$ .

C. $S = {3}$ .

D. $S = {1}$ .

Lời giải

Đáp án B.

Câu 16: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^{2} - 3 x + 2} = \sqrt{2 x^{2} - 7 | x | + 4}$ là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 17: Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{3 x^{2} - 6 x - 4} = \sqrt{x - 8}$ là

A. $S = {\frac{3}{4}; 1}$ .

B. $S = {\frac{3}{4}}$ .

C. $S = {1}$ .

D. $S = \emptyset$ .

Lời giải

Đáp án D.

Câu 18: Phương trình $2 x^{2} - 6 x + 4 = 3 \sqrt{x^{3} + 8}$ có hai nghiệm dạng $x = a \pm b \sqrt{13}$ với $a, b \in N$ . Tính $a^{2} - b$ .

A. 0.

B. 1.

C. 8.

D. $- 1$ .

Lời giải

Điều kiện: $x^{3} + 8 \geq 0 \Leftrightarrow x^{3} \geq (- 2)^{3} \Leftrightarrow x \geq - 2$ .

Phương trình tương đương:

$2 (x^{2} - 2 x + 4) - 2 (x + 2) - 3 \sqrt{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)} = 0.$

Chia hai vế phương trình cho $x^{2} - 2 x + 4$ (với $x^{2} - 2 x + 4 = (x - 1)^{2} + 3 \neq 0, \forall x \in R$ ), ta được: $2 - 2 (\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 4}) - 3 \sqrt{\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 4}} = 0$ .

Đặt $t = \sqrt{\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 4}} (t \geq 0)$ .

Phương trình trở thành: $2 - 2 t^{2} - 3 t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{1}{2} (n) \\ t = - 2 (l) \end{array}$ .

Với $t = \frac{1}{2}$ thì $\sqrt{\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 4}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 4 (x + 2) = x^{2} - 2 x + 4 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt{13}$ (nhận).

Do vậy: $a = 3, b = 1 \Rightarrow a^{2} - b = 8$ .

Đáp án C.

Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$ cho các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ được vẽ ở hình bên. Ta có các khẳng định sau:

A) $\vec{a} = (2; - 3)$ ; B) $\vec{b} = (- 3; 0)$ ; C) $\vec{c} = (5; 1)$ ; D) $\vec{d} = (4; 0)$ .

Số khẳng định đúng là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải

Đáp án C.

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$ , cho $\vec{a} = (2; - 3), \vec{b} = (- 2; 5)$ . Toạ độ của vectơ $- \vec{a} + 3 \vec{b}$ là:

A. $(8; 18)$ .

B. $(- 8; - 18)$ .

C. $(- 8; 18)$ .

D. $(8; - 18)$ .

Lời giải

Ta có: $- \vec{a} = (- 2; 3)$ và $3 \vec{b} = (- 6; 15)$ . Suy ra $- \vec{a} + 3 \vec{b} = (- 8; 18)$ .

Đáp án C.

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$ , cho $\vec{a} = (1; 2), \vec{b} = (3; - 3)$ . Toạ độ của vectơ $\vec{c} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b}$ là:

A. $(- 3; 12)$ .

B. $(3; 12)$ .

C. $(9; 0)$ .

D. $(- 3; 0)$ .

Lời giải

Ta có: $3 \vec{a} = (3; 6)$ và $- 2 \vec{b} = (- 6; 6)$ . Suy ra $3 \vec{a} - 2 \vec{b} = (- 3; 12)$ .

Đáp án A.

Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$ , cho hai điểm $A (5; 4), B (- 1; 0)$ . Đường trung trực của đoạn thẳng $A B$ có phương trình là:

A. $x - 2 y + 5 = 0$ .

B. $3 x + 2 y - 10 = 0$ .

C. $3 x + 2 y - 5 = 0$ .

D. $2 x + 3 y - 1 = 0$ .

Lời giải

Đáp án B.

A. $x - y + 5 = 0$ .

B. $x + y - 5 = 0$ .

C. $x - y + 2 = 0$ .

D. $x + y = 0$ .

Lời giải

Đáp án C.

A. $x - y + 7 = 0$ .

B. $x + y - 7 = 0$ .

C. $x - y - 5 = 0$ .

D. $x + y = 0$ .

Lời giải

Đáp án B.

Câu 25: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $A (1; - 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} (2; - 1)$ là:

A. $2 x + y - 5 = 0$ .

B. $2 x - y - 5 = 0$ .

C. $x + 2 y + 5 = 0$ .

D. $x + 2 y - 5 = 0$ .

Lời giải

Đáp án B.

Câu 26: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M (2; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} (- 1; 4)$ là:

A. ${\begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 1 - 4 t \end{array}$ .

B. ${\begin{array}{l} x = - 1 + 2 t \\ y = 4 + t \end{array}$ .

C. ${\begin{array}{l} x = 1 + 4 t \\ y = 2 - t \end{array}$ .

D. ${\begin{array}{l} x = 2 - t \\ y = 1 + 4 t \end{array}$ .

Lời giải

Đáp án D.

Câu 27: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $M (- 1; 0), N (3; 1)$ là:

A. $x - 4 y + 1 = 0$ .

B. $x - 4 y - 1 = 0$ .

C. $4 x + y + 4 = 0$ .

D. $4 x + y - 4 = 0$ .

Lời giải

Đáp án A.

Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $d$ : ${\begin{array}{l} x = - 1 - 2 t \\ y = 4 + 3 t . \end{array}$ Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là

A. $\vec{u} = (- 1; 4)$ .

B. $\vec{u} = (- 2; 3)$ .

C. $\vec{u} = (3; - 2)$ .

D. $\vec{u} = (2; 3)$ .

Lời giải

Đáp án B.

A. $\frac{5}{2}$ .

B. 3.

C. 5.

D. $\frac{9}{5}$ .

Lời giải

Đáp án B.

Câu 30: Cho hai đường thẳng $d_{1} : 3 x - 4 y + 5 = 0, d_{2} : 4 x - 3 y + 2 = 0$ . Điểm $M$ nào sau đây cách đều hai đường thẳng trên?

A. $M (1; 0)$ .

B. $M (2; 3)$ .

C. $M (4; - 2)$ .

D. $M (- 1; 2)$ .

Lời giải

Đáp án B.

Câu 31: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $Δ : x - 2 y - 3 = 0$ . Đường thẳng nào sau đây có vị trí tương đối trùng với đường thẳng $Δ$ ?

A. $Δ_{1} : x + 2 y - 3 = 0$ .

B. $Δ_{2} : 2 x + y - 3 = 0$ .

C. $Δ_{3} : 2 x - 4 y - 1 = 0$ .

D. $Δ_{4} : 2 x - 4 y - 6 = 0$ .

Lời giải

Đáp án D.

A. $30^{0}$ .

B. $45^{0}$ .

C. $60^{0}$ .

D. $90^{0}$ .

Lời giải

Đáp án A.

Câu 33: Đường tròn nào sau đây có tâm là $I (- 3; 5)$ và có bán kính là $R = 4$ ?

A. $x^{2} + y^{2} - 3 x + 5 y + 9 = 0$ .

B. $x^{2} + y^{2} - 3 x + 5 y - 9 = 0$ .

C. $x^{2} + y^{2} + 6 x - 10 y - 18 = 0$ .

D. $x^{2} + y^{2} + 6 x - 10 y + 18 = 0$ .

Lời giải

Đáp án D.

Câu 34: Phương trình đường tròn có tâm $I (1; 2)$ và đi qua điểm $A (- 1; 3)$ là:

A. $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ .

B. $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5$ .

C. $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ .

D. $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ .

Lời giải

Đáp án C.

Câu 35: Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$ , cho hai điểm $A (- 4; 6)$ và $B (- 2; 4)$ . Phương trình đường tròn có đường kính $A B$ là:

A. $(x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 2$ .

B. $(x + 3)^{2} + (y + 5)^{2} = 2$ .

C. $(x - 3)^{2} + (y + 5)^{2} = 2 \sqrt{2}$ .

D. $(x - 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 2 \sqrt{2}$

Lời giải

Đáp án A.

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Một vật chuyển động có vận tốc (mét/giây) được biểu diễn theo thời gian $t$ (giây) bằng công thức $v (t) = \frac{1}{2} t^{2} - 4 t + 10$ .

a) Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu giây thì vận tốc của vật không bé hơn $10 m / s$ (biết rằng $t > 0$ )?

b) Trong 10 giây đầu tiên, vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải

a) Để vận tốc vật không dưới $10 m / s$ , ta cần xét:

$v (t) = \frac{1}{2} t^{2} - 4 t + 10 \geq 10 \Rightarrow \frac{1}{2} t^{2} - 4 t \geq 0.$

Xét $f (t) = \frac{1}{2} t^{2} - 4 t; f (t) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} t^{2} - 4 t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = 8 \end{array}$ .

Bảng xét dấu $f (t)$ :

Ta có: $f (t) \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t \leq 0 (l) \\ t \geq 8 \end{array}$ .

Vậy, thời gian tối thiểu là 8 giây thì vật sẽ đạt vận tốc không bé hơn $10 m / s$ .

b) Xét $v (t) = \frac{1}{2} t^{2} - 4 t + 10$ với $- \frac{b}{2 a} = 4, a = \frac{1}{2} > 0$ nên bề lõm parabol hướng lên. Bảng biến thiên của $v (t)$ :

Vậy, ở giây thứ tư thì vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất là $v (t)_{min} = 2$ .

Bài 2. Giải phương trình sau: $\sqrt{2 x^{2} + 5} = \sqrt{x^{2} - x + 11}$ .

Lời giải

Cách 1:

Bình phương hai vế phương trình, ta được:

$2 x^{2} + 5 = x^{2} - x + 11 \Leftrightarrow x^{2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \lor x = - 3.$

Thay giá trị $x = 2$ vào phương trình: $\sqrt{13} = \sqrt{13}$ (thỏa mãn).

Thay giá trị $x = - 3$ vào phương trình: $\sqrt{23} = \sqrt{23}$ (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm phương trình là $S = {2; - 3}$ .

Cách 2:

Ta có: $\sqrt{2 x^{2} + 5} = \sqrt{x^{2} - x + 11} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} 2 x^{2} + 5 \geq 0, \forall x \in R \\ 2 x^{2} + 5 = x^{2} - x + 11 \end{array} \Leftrightarrow x^{2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 3 \end{array}$ .

Vậy tập nghiệm phương trình là $S = {2; - 3}$ .

Bài 3. Cho các vectơ $\vec{a} = (1; - 2), \vec{b} = (- 2; - 6), \vec{c} = (m + n; - m - 4 n)$ .

a) Hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ có cùng phương không? Tìm góc tạo bởi hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ .

b) Tìm hai số $m, n$ sao cho $\vec{c}$ cùng phương $\vec{a}$ và $| \vec{c} | = 3 \sqrt{5}$ .

Lời giải

a) Ta có: $\frac{1}{- 2} \neq \frac{- 2}{- 6} \Rightarrow \vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương.

Ta có: $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{1 (- 2) + (- 2) (- 6)}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}} \cdot \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 6)}^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 45^{\circ}$ .

b) $\vec{c}$ cùng phương $\vec{a}$ và $| \vec{c} | = 3 \sqrt{5} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} \frac{m + n}{1} = \frac{- m - 4 n}{- 2} \\ \sqrt{{(m + n)}^{2} + {(- m - 4 n)}^{2}} = 3 \sqrt{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\begin{matrix} \begin{matrix} - 2 m - 2 n = - m - 4 n \\ (m + n)^{2} + (m + 4 n)^{2} = 45 \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} \begin{matrix} m = 2 n \\ (3 n)^{2} + (6 n)^{2} = 45 \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} \begin{matrix} m = 2 n \\ (3 n)^{2} + (6 n)^{2} = 45 \end{matrix} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} \begin{matrix} m = 2 n \\ 45 n^{2} = 45 \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} \begin{matrix} m = 2 \\ n = 1 \end{matrix} \end{matrix} \lor {\begin{matrix} \begin{matrix} m = - 2 \\ n = - 1 \end{matrix} \end{matrix} . \end{array}$

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng $Δ$ biết rằng:

a) $Δ$ chắn các trục tọa độ tại hai điểm $A (- 4; 0), B (0; - 2)$ .

b) $Δ$ qua điểm $E (2; 3)$ , đồng thời cắt các tia $O x, O y$ tại các điểm $M, N$ (khác gốc tọa độ $O$ ) biết rằng $O M + O N$ bé nhất.

Lời giải

a) $Δ$ có phương trình theo đoạn chắn là $\frac{x}{- 4} + \frac{y}{- 2} = 1$ hay $x + 2 y + 4 = 0$ .

b) Gọi $M (m; 0) = Δ \cap O x, N (0; n) = Δ \cap O y$ với $m, n > 0$ . Suy ra ${\begin{array}{l} O M = m \\ O N = n \end{array}$ .

Phương trình $Δ$ được viết theo đoạn chắn $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$ . Vì $E (2; 3) \in Δ$ nên $\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 1 \Rightarrow \frac{2}{m} = \frac{n - 3}{n} \Rightarrow m = \frac{2 n}{n - 3}$ . Vì $m, n > 0$ nên $n - 3 > 0 \Rightarrow n > 3$ .

Ta có: $O M + O N = m + n = \frac{2 n}{n - 3} + n = 2 + \frac{6}{n - 3} + n = 5 + \frac{6}{n - 3} + (n - 3)$ .

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $\frac{6}{n - 3} + (n - 3) \geq 2 \sqrt{\frac{6}{n - 3} \cdot (n - 3)} = 2 \sqrt{6}$ .

Suy ra: $O M + O N = 5 + \frac{6}{n - 3} + (n - 3) \geq 5 + 2 \sqrt{6}$ .

Khi tổng $O M + O N$ đạt giá trị nhỏ nhất (bằng $5 + 2 \sqrt{6}$ ) thì dấu bằng của bất đẳng thức trên xảy ra: $\frac{6}{n - 3} = n - 3 \Rightarrow (n - 3)^{2} = 6 \Rightarrow n = \sqrt{6} + 3 (n > 3)$ . Suy ra $m = \frac{2 (\sqrt{6} + 3)}{(\sqrt{6} + 3) - 3} = \frac{2 \sqrt{6} + 6}{\sqrt{6}} = 2 + \sqrt{6}$ .

Phương trình tổng quát $Δ : \frac{x}{2 + \sqrt{6}} + \frac{y}{3 + \sqrt{6}} = 1$ hay $\frac{x}{2 + \sqrt{6}} + \frac{y}{3 + \sqrt{6}} - 1 = 0$ .

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

We using AI and power community to slove your question

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"