Giải mục 1 trang 48, 49 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ 1

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ gồm tất cả các số tự nhiên lẻ, xếp theo thứ tự tăng dần

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức biểu diễn số hạng $u_n$ theo số hạng $u_{n-1}$.

Phương pháp giải:

Số tự nhiên lẻ liên tiếp cách nhau 2 đơn vị.

Lời giải chi tiết:

a) Năm số hạng đầu của dãy số: 1; 3; 5; 7; 9.

b) Công thức biểu diễn số hạng $u_n$ theo số hạng $u_{n-1}$ là: $u_n=u_{n-1}+2\left(n\ge 2\right)$.

CH

Dãy số không đổi a, a, a, ... có phải là một cấp số cộng không?

Phương pháp giải:

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Để chứng minh $\left(u_n\right)$ là một cấp số cộng, hãy chứng minh hiệu hai số hạng liên tiếp $u_n-u_{n-1}$ không đổi.

Lời giải chi tiết:

Gọi dãy a, a, a, ... là $\left(u_n\right)$.

Ta có: $u_n-u_{n-1}=a-a=0,\mathrm{\forall }n\ge 2$.

Công thức biểu diễn số hạng $u_n$ theo số hạng $u_{n-1}$ là: $u_n=u_{n-1}+0\left(n\ge 2\right)$.

Như vậy, dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số cộng với công sai d = 0.

LT 1

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=-2n+3$. Chứng minh rằng $\left(u_n\right)$ là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng này.

Phương pháp giải:

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Để chứng minh $\left(u_n\right)$ là một cấp số cộng, hãy chứng minh hiệu hai số hạng liên tiếp $u_n-u_{n-1}$ không đổi.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $u_n-u_{n-1}=\left(-2n+3\right)-\left[-2\left(n-1\right)+3\right]=-2,\mathrm{\forall }n\ge 2$.

Vậy $u_n=-2n+3$ là một cấp số cộng với $u_1=1$ và công sai $d=-2$.