Bài 4.43 trang 103 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh SC và cạnh AB lần lượt lấy điểm M và N sao cho CM = 2SM và BN = 2AN.

a) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (ABM) với đường thẳng SD. Tính tỉ số \(\frac{{SK}}{{SD}}\)

b) Chứng minh rằng MN // (SAD).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\left( {ABM} \right) \cap \;\left( {ABCD} \right) = AB,\;\left( {ABCD} \right) \cap \;\left( {SCD} \right) = CD,\;AB//CD\).

Suy ra giao tuyến của (ABM) và (SCD) là đường thẳng qua M song song với AB và CD.

Qua M kẻ MK song song với CD (K thuộc SD).

Vậy, K là giao điểm của (AMN) và SD.

Xét tam giác SCD ta có: MK //CD suy ra \(\frac{{SK}}{{SD}} = \frac{{SM}}{{SC}} = \frac{1}{3}\)

b) Xét tam giác SCD ta có: MK //CD suy ra \(\frac{{MK}}{{CD}} = \frac{{SM}}{{SC}} = \frac{1}{3}\)

Lại có \(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{1}{3}\), AB=CD suy ra AN = MK.

Xét tứ giác ANMK ta có: AN = MK, AN // MK suy ra ANMK là hình bình hành.

Do đó MN // AK hay MN // (SAD).