Giải mục 1 trang 88 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ 1

a) Tính đạo hàm của hàm số $y=x^3$ tại điểm x bất kì.

b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số $y=x^n\left(n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$

Phương pháp giải:

Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là $y^{\prime }=f^{\prime }\left(x\right)$

Lời giải chi tiết:

a) Với $x_0$ bất kì, ta có:

$$\begin{gathered} f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0} \\ =\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\left(x-x_0\right)\left(x^2+x{x}_0+x_0^2\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\left(x^2+x{x}_0+x_0^2\right)=3x_0^2 \end{gathered}$$

Vậy hàm số $y=x^3$ có đạo hàm là hàm số $y^{\prime }=3x^2$

b) $y^{\prime }={\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$

HĐ 2

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm x > 0.

Phương pháp giải:

Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là $y^{\prime }=f^{\prime }\left(x\right)$

Lời giải chi tiết:

Với $x_0$ bất kì, ta có:

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}\\ =\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{x_0}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{x_0}\right)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}\end{array}$

Vậy hàm số $y=\sqrt{x}$ có đạo hàm là hàm số $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$