Bài 32 trang 109 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết $SA\mathrm{\perp }(ABCD)$ và $SA=a\sqrt{2}$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng SC, cắt các cạnh SC, SB, SD lần lượt tại M, E, F.

a) Chứng minh rằng $AE\mathrm{\perp }(SBC)$.

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và hình chóp S.AEMF.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $BD\mathrm{\perp }AC,BD\mathrm{\perp }SA\Rightarrow BD\mathrm{\perp }\left(SAC\right);SC\subset \left(SAC\right)\Rightarrow BD\mathrm{\perp }SC$

Trong (ABCD) qua A kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, CD lần lượt tại K, H

$\Rightarrow HK\mathrm{\perp }SC\Rightarrow H,K\in \left(P\right)$

Trong (SAC) qua A kẻ đường thẳng vuông góc với SC

Mà $(P)$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng SC cắt các cạnh SC tại M nên $AM\mathrm{\perp }SC$

Do đó mặt phẳng (P) là (MHK) mà $(P)$ cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại E, F nên:

trong (SBC) có SB cắt MK tại E, trong (SCD) có SD cắt MH tại F

Ta có $BC\mathrm{\perp }AB,BC\mathrm{\perp }SA\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(SAB\right);AE\subset \left(SAB\right)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }AE$

Mà $AE\mathrm{\perp }SC\left(SC\mathrm{\perp }\left(P\right)\right)\Rightarrow AE\mathrm{\perp }\left(SBC\right)$

b) Ta có $CD\mathrm{\perp }AD,CD\mathrm{\perp }SA\Rightarrow CD\mathrm{\perp }\left(SAD\right);AF\subset \left(SAD\right)\Rightarrow CD\mathrm{\perp }AF$

Mà $AF\mathrm{\perp }SC\left(SC\mathrm{\perp }\left(P\right)\right)\Rightarrow AF\mathrm{\perp }\left(SBC\right)$

Xét tam giác SAB vuông tại A có

+) $SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2+a^2}=a\sqrt{3}$

+) $S{A}^2=SE.SB\Rightarrow SE=\frac{S{A}^2}{SB}=\frac{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}{a\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

Xét tam giác SBC vuông tại B có

$SC=\sqrt{S{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2+a^2}=2a$

Xét tam giác SAD vuông tại A có

+) $SD=\sqrt{S{A}^2+A{D}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2+a^2}=a\sqrt{3}$

+) $S{A}^2=SF.SD\Rightarrow SF=\frac{S{A}^2}{SD}=\frac{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}{a\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

Xét tam giác SAC vuông tại A có $S{A}^2=SM.SC\Rightarrow SM=\frac{S{A}^2}{SC}=\frac{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}{2a}=a$

Ta có $\frac{V_{S.AEM}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SE}{SB}.\frac{SM}{SC}=\frac{\frac{2a\sqrt{3}}{3}}{a\sqrt{3}}.\frac{a}{2a}=\frac{1}{3}\Rightarrow V_{S.AEM}=\frac{1}{3}{V}_{S.ABC}$

$\frac{V_{S.AFM}}{V_{S.ADC}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SF}{SD}.\frac{SM}{SC}=\frac{\frac{2a\sqrt{3}}{3}}{a\sqrt{3}}.\frac{a}{2a}=\frac{1}{3}\Rightarrow V_{S.AFM}=\frac{1}{3}{V}_{S.ADC}$

Thể tích khối chóp S.ABCD là $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a\sqrt{2}.a^2=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

Thể tích hình chóp S.AEMF là

$V_{S.AEMF}=V_{S.AEM}+V_{S.AFM}=\frac{1}{3}\left(V_{S.ABC}+V_{S.ADC}\right)=\frac{1}{3}.V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a^3\sqrt{2}}{3}=\frac{a^3\sqrt{2}}{9}$