Bài 33 trang 109 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = a,AA' = a\sqrt 2 \). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh \(BB'\) và \(CC'\). Mặt phẳng \(\left( {A'MN} \right)\) cắt đường thẳng AB, AC tương ứng tại \(H\) và \(K\).

a) Chứng minh rằng \(MN//HK\).

b) Tính theo a thể tích khối chóp \(A'\).AHK.

Lời giải chi tiết

a) Dễ dàng chứng minh

\( \Rightarrow BH = A'B',CK = A'C'\)

Mà \(AB = A'B',AC = A'C'\)

Nên \(AB = BH,AC = CK\)

Do đó BC là đường trung bình tam giác AHK

\( \Rightarrow BC//HK\)

Ta có M, N lần lượt là trung điểm của cạnh \(BB'\) và \(CC'\) nên MN là đường trung bình của hình BB’C’C do đó MN // BC

Vậy MN // HK

b) Ta có AK = 2AC, AH = 2AB, HK = 2BC mà AB = AC = BC nên AK = AH = KH

Do đó tam giác AHK là tam giác đều cạnh 2a

\( \Rightarrow {S_{AHK}} = {a^2}\sqrt 3 \)

Thể tích khối chóp \(A'\).AHK là \(V = \frac{1}{3}.AA'.{S_{AHK}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .{a^2}\sqrt 3  = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)