Bài 37 trang 109 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Hai bạn Dũng và Cường tham gia một kì thi học sinh giỏi môn Toán. Xác suất để Dũng và Cường đạt giải tương ứng là 0,85 và 0,9 . Tính xác suất để:

a) Có ít nhất một trong hai bạn đạt giải;

b) Có đúng một bạn đạt giải.

Lời giải chi tiết

a) Gọi A và B tương ứng là biến cố: “Bạn Dũng đạt giải” và “Bạn Cường đạt giải”. Từ điều kiện bài toán, A và B là hai biến cố độc lập. Theo công thức nhân, ta có:

P(AB) = P(A).P(B) = 0,85.0,9 = 0,765.

$P\left(\overline{AB}\right)=P\left(\bar{A}\right).P\left(\bar{B}\right)=\left(1-0,85\right).\left(1-0,9\right)=0,15.0,1=0,015$

Theo công thức cộng ta có

 $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)=0,85+0,9-0,765=0,985$

b) Do $\left(A,\bar{B}\right)$ độc lập và $\left(\bar{A},B\right)$ độc lập nên theo công thức nhân ta có:

$\begin{array}{l}P\left(A\bar{B}\right)=P\left(A\right)P\left(\bar{B}\right)=0,85.\left(1-0,9\right)=0,85.0,1=0,085\\ P\left(\bar{A}B\right)=P\left(\bar{A}\right)P\left(B\right)=\left(1-0,85\right).0,9=0,15.0,9=0,135\end{array}$

Gọi E là biến cố: “Có đúng một trong hai bạn đạt giải”. Ta có $E=A\bar{B}\cup \bar{A}B$

Theo công thức cộng hai biến cố xung khắc, ta có:

$P\left(E\right)=P\left(A\bar{B}\cup \bar{A}B\right)=P\left(A\bar{B}\right)+P\left(\bar{A}B\right)=0,085+0,135=0,22.$