Giải mục 6 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Thực hành 6

Sử dụng máy tính cầm tay để giải các phương trình sau:

$\begin{array}{l}a)cosx=0,4;\\ b)tanx=\sqrt{3}.\end{array}$

Phương pháp giải:

+ Nếu $\left|m\right|\le 1$ thì phương trình có nghiệm:

Khi $\left|m\right|\le 1$sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[0;\pi \right]$ thoả mãn $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha =m$. Khi đó:

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=m\iff \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha$ $\iff [\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

+ Với mọi $m\in \mathbb{R}$, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ thoả mãn $\tan \alpha =m$. Khi đó:

$\tan \mathrm{x}=m\iff \tan x=\tan \alpha \iff x=\alpha +k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Lời giải chi tiết:

a) Sử dụng máy tính cầm tay ta có: $cos1,16\approx 0,4$nên $cosx=cos1,16$ do đó các nghiệm của phương trình là $x=1,16+k2\pi$ hoặc $x=-1,16+k2\pi$với $k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\{1,16+k2\pi ;-1,16+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$.

b) Sử dụng máy tính cầm tay ta có: $tanx=\sqrt{3}$ nên $tanx=tan\frac{\pi }{3}\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}.$

Vận dụng

Quay lại bài toán khởi động, phương trình chuyển động của bóng đầu trục bàn đạp là $x=17cos5\pi t\left(cm\right)$ với t được đo bằng giây. Xác định các thời điểm t mà tại đó độ dài bóng $|x|$ vừa bằng 10. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười

Phương pháp giải:

+ Nếu $\left|m\right|\le 1$ thì phương trình có nghiệm:

Khi $\left|m\right|\le 1$sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[0;\pi \right]$ thoả mãn $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha =m$. Khi đó:

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=m\iff \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha$ $\iff [\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình $\left|17cos5\pi t\right|=10$

$\begin{array}{l}\iff [\begin{array}{c}17cos5\pi t=10\\ 17cos5\pi t=-10\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}cos5\pi t=\frac{10}{17}\\ cos5\pi t=-\frac{10}{17}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}5\pi t=\pm 0,9+k2\pi \\ 5\pi t=\pm 2,2+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\\ \iff [\begin{array}{c}t=\pm 0,06+k\frac{2}{5}\\ t=\pm 0,14+k\frac{2}{5}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Độ dài bóng $|x|$bằng 10 cm tại các thời điểm $t=\pm 0,06+k\frac{2}{5}$,$t=\pm 0,14+k\frac{2}{5}$,$k\in \mathbb{Z}$.