Giải mục 3 trang 36, 37 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 3

Trong Hình 3, những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác x có $cosx=\frac{-1}{2}$? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời.

Lời giải chi tiết:

Điểm biểu diễn góc lượng giác x có $cosx=\frac{-1}{2}$ là M và N.

Số đo góc lượng giác có điểm biểu diễn M là: $\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Số đo góc lượng giác có điểm biểu diễn N là: $\frac{4\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Thực hành 3

Giải các phương trình sau:

$\begin{array}{l}a)cosx=-3\\ b)cosx=cos{15}^o\\ c)cos(x+\frac{\pi }{12})=cos\frac{3\pi }{12}\end{array}$

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời.

Phương trình $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=m$,

• Nếu $\left|m\right|\le 1$ thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu $\left|m\right|\le 1$ thì phương trình có nghiệm:

Khi $\left|m\right|\le 1$sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[0;\pi \right]$ thoả mãn $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha =m$. Khi đó:

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=m\iff \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha$ $\iff [\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\cos x=\cos {\alpha }^o\iff [\begin{array}{l}x={\alpha }^o+k{360}^o\\ x=-{\alpha }^o+k{360}^o\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Lời giải chi tiết:

a) Với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta có $-1\le cosx\le 1$

Vậy phương trình $cosx=-3$ vô nghiệm.

$\begin{array}{l}b)cosx=cos{15}^o\\ \iff [\begin{array}{c}x={15}^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}\\ x=-{15}^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}\end{array}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x={15}^o+k{360}^o$ hoặc $x=-{15}^o+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}$.

$\begin{array}{l}c)cos(x+\frac{\pi }{12})=cos\frac{3\pi }{12}\\ \iff [\begin{array}{c}x+\frac{\pi }{12}=\frac{3\pi }{12}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x+\frac{\pi }{12}=-\frac{3\pi }{12}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,$ hoặc $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.