Bài 5 trang 60 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

6 tháng trước

Đề bài

Tính các tổng sau:

a) $S_{n} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + . . . + \frac{1}{3^{n}}$ ;

b) $S_{n} = 9 + 99 + 999 + . . . + \underset{n c h u s o 9}{\underset{⏟}{99. . .9}}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q$ là: $S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ .

Lời giải chi tiết

a) Tổng $S_{n}$ là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 1$ và công bội $q = \frac{1}{3}$ nên ta có:

$S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{1 (1 - {(\frac{1}{3})}^{n})}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{n}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} (1 - \frac{1}{3^{n}}) = \frac{3}{2} - \frac{1}{{2.3}^{n - 1}}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l} S_{n} = 9 + 99 + 999 + . . . + \underset{n c h u s o 9}{\underset{⏟}{99. . .9}} = (10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + . . . + (\underset{n c h u s o 0}{\underset{⏟}{100. . .0}} - 1) \\ = (10 + 100 + 1000 + . . . + \underset{n c h u s o 0}{\underset{⏟}{100. . .0}}) - n \end{array}$

Tổng $10 + 100 + 1000 + . . . + \underset{n c h u s o 0}{\underset{⏟}{100. . .0}}$ là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 10$ và công bội $q = 10$ nên ta có:

$10 + 100 + 1000 + . . . + \underset{n c h u s \^o 0}{\underset{⏟}{100. . .0}} = \frac{10 (1 - 10^{n})}{1 - 10} = \frac{10 - 10^{n + 1}}{- 9} = \frac{10^{n + 1} - 10}{9}$

Vậy $S_{n} = \frac{10^{n + 1} - 10}{9} - n = \frac{10^{n + 1} - 10 - 9 n}{9}$

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

We using AI and power community to slove your question

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"