Bài 3 trang 60 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.

b) Viết sáu số xen giữa các số –2 và 256 để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp thì số hạng thứ 15 là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

a) Giả sử số đo bốn góc của tứ giác lần lượt là $u_1,u_1.q,u_1.q^2,u_1.q^3\left(u_1,q>0\right)$.

Tổng số đo bốn góc của một tứ giác bằng ${360}^{\circ }$ nên ta có phương trình:

$u_1+u_1.q+u_1.q^2+u_1.q^3=360\iff u_1\left(1+q+q^2+q^3\right)=360\left(1\right)$

Số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất nên ta có phương trình:

$\frac{u_1.q^3}{u_1}=8\iff q^3=8\iff q=2\left(2\right)$

Thế (2) vào (1) ta có: $u_1\left(1+2+2^2+2^3\right)=360\iff u_1=24$

Vậy số đo bốn góc của tứ giác đó là: ${24}^{\circ };{24}^{\circ }.2={48}^{\circ };{24}^{\circ }{.2}^2={96}^{\circ };{24}^{\circ }{.2}^3={192}^{\circ }$.

b) Giả sử cấp số nhân đó có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$.

Theo đề bài ta có: $\{\begin{array}{l}{u}_1=-2\\ u_8=256\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=-2\\ u_1.q^7=256\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=-2\\ q^7=-128\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{u}_1=-2\\ q=-2\end{array}$.

Vậy ta cần viết thêm sáu số là:

$-2.\left(-2\right)=4;4.\left(-2\right)=-8;\left(-8\right).\left(-2\right)=16;16.\left(-2\right)=-32;\left(-32\right).\left(-2\right)=64;64.\left(-2\right)=-128$

Số hạng thứ 15 của cấp số nhân là: $u_{15}=u_1.q^{14}=-2.{\left(-2\right)}^{14}=-32768$.