Giải mục 1 trang 71, 72 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 1

Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x^2-2}{x-1}$.

a) Bảng sau đây cho biết giá trị của hàm số tại một số điểm gần điểm 1.

Có nhận xét gì về giá trị của hàm số khi $x$ càng gần đến 1?

b) Ở Hình 1, $M$ là điểm trên đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$; $H$ và $P$ lần lượt là hình chiếu của điểm $M$ trên trục hoành và trục tung. Khi điểm $H$ thay đổi gần về điểm $\left(1;0\right)$ trên trục hoành thì điểm $P$ thay đổi như thế nào?

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Khi $x$ càng gần đến 1 thì giá trị của hàm số càng gần đến 4.

b) Khi điểm $H$ thay đổi gần về điểm $\left(1;0\right)$ trên trục hoành thì điểm $P$ càng gần đến điểm $\left(0;4\right)$.

Thực hành 1

Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 3}{lim}\left(2x^2-x\right)$; 

b) $\underset{x\to -1}{lim}\frac{x^2+2x+1}{x+1}$.

Phương pháp giải:

Đưa về tính giới hạn của dãy số $\left(x_n\right)$ thỏa mãn $x_n\to x_0$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

Lời giải chi tiết:

a) Đặt $f\left(x\right)=2x^2-x$.

Hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\mathbb{R}$.

Giả sử $\left(x_n\right)$ là dãy số bất kì thỏa mãn $x_n\to 3$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$. Ta có:

$limf\left(x_n\right)=lim\left(2x_n^2-x_n\right)=2.lim{x}_n^2-lim{x}_n={2.3}^2-3=15$.

Vậy $\underset{x\to 3}{lim}\left(2x^2-x\right)=15$.

b) Đặt $f\left(x\right)=\frac{x^2+2x+1}{x+1}$.

Hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\mathbb{R}$.

Giả sử $\left(x_n\right)$ là dãy số bất kì thỏa mãn $x_n\to -1$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$. Ta có:

$limf\left(x_n\right)=lim\frac{x_n^2+2x_n+1}{x_n+1}=lim\frac{{\left(x_n+1\right)}^2}{x_n+1}=lim\left(x_n+1\right)=lim{x}_n+1=-1+1=0$.

Vậy $\underset{x\to -1}{lim}\frac{x^2+2x+1}{x+1}=0$.