Giải mục 3 trang 82, 83 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 3

Cho hai hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}$ và $y=g\left(x\right)=\sqrt{4-x}$.

a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã cho.

b) Mỗi hàm số trên liên tục trên những khoảng nào? Giải thích.

Phương pháp giải:

a) Điều kiện để hàm số có nghĩa là mẫu khác 0 và biểu thức trong căn không âm.

b) Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.

Lời giải chi tiết:

a) • $y=f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}$

ĐKXĐ: $x-1\ne 0\iff x\ne 1$

Vậy hàm số có tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$.

• $y=g\left(x\right)=\sqrt{4-x}$

ĐKXĐ: $4-x\ge 0\iff x\le 4$

Vậy hàm số có tập xác định: $D=\left(-\mathrm{\infty };4\right]$.

b) • Với mọi $x_0\in \left(-\mathrm{\infty };1\right)$, ta có:

$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{1}{x-1}=\frac{\underset{x\to x_0}{lim}1}{\underset{x\to x_0}{lim}x-\underset{x\to x_0}{lim}1}=\frac{1}{x_0-1}=f\left(x_0\right)$

Vậy hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục tại mọi điểm $x_0\in \left(-\mathrm{\infty };1\right)$.

Tương tự ta có hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục tại mọi điểm $x_0\in \left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Ta có: Hàm số không xác định tại điểm $x_0=1$

$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{1}{x-1}=+\mathrm{\infty };\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{1}{x-1}=-\mathrm{\infty }$

Vì $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)$ nên không tồn tại $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)$.

Vậy hàm số $y=f\left(x\right)$ không liên tục tại điểm $x_0=1$.

• Với mọi $x_0\in \left(-\mathrm{\infty };4\right)$, ta có:

$\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{4-x}=\sqrt{\underset{x\to x_0}{lim}4-\underset{x\to x_0}{lim}x}=\sqrt{4-x_0}=g\left(x_0\right)$

Vậy hàm số $y=g\left(x\right)$ liên tục tại mọi điểm $x_0\in \left(-\mathrm{\infty };4\right)$.

Ta có: $g\left(4\right)=\sqrt{4-4}=0$

$\underset{x\to 4^{-}}{lim}g\left(x\right)=\underset{x\to 4^{-}}{lim}\sqrt{4-x}=\sqrt{\underset{x\to 4^{-}}{lim}4-\underset{x\to 4^{-}}{lim}x}=\sqrt{4-4}=0=g\left(4\right)$

Vậy hàm số $y=g\left(x\right)$ liên tục tại điểm $x_0=4$.

Hàm số không xác định tại mọi $x_0\in \left(4;+\mathrm{\infty }\right)$ nên hàm số $y=g\left(x\right)$ không liên tục tại mọi điểm $x_0\in \left(4;+\mathrm{\infty }\right)$.

Vậy hàm số $y=g\left(x\right)$ liên tục trên nửa khoảng $\left(-\mathrm{\infty };4\right]$.

Thực hành 3

Xét tính liên tục của hàm số $y=\sqrt{x^2-4}$.

Phương pháp giải:

Để tính xét tính liên tục của hàm số, ta tìm những khoảng xác định của hàm số đó.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: $x^2-4\ge 0\iff [\begin{array}{l}x\ge 2\\ x\le -2\end{array}$

Vậy hàm số có TXĐ: $D=\left(-\mathrm{\infty };-2\right]\cup \left[2;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=\sqrt{x^2-4}$ là hàm số căn thức nên nó liên tục trên các nửa khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-2\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$.

Ta có: $\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\sqrt{x^2-4}=\sqrt{2^2-4}=0=f\left(2\right)$

$\underset{x\to -2^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{lim}\sqrt{x^2-4}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2-4}=0=f\left(-2\right)$

Vậy hàm số $y=\sqrt{x^2-4}$ liên tục trên các nửa khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-2\right]$ và $\left[2;+\mathrm{\infty }\right)$.

Thực hành 4

Cho hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^2-2x}{x}& khix\ne 0\\ a& khix=0\end{array}$.

Tìm $a$ để hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.

Bước 2: Tính $f\left(0\right)$.

Bước 3: Tính giới hạn $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)$.

Bước 4: Giải phương trình $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=f\left(0\right)$.

Lời giải chi tiết:

Trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$, $f\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{x}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Ta có: $f\left(0\right)=a$

$\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2-2x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\left(x-2\right)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\left(x-2\right)=0-2=-2$

Để hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số $y=f\left(x\right)$ phải liên tục tại điểm $x_0=0$.  Khi đó:

$\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=f\left(0\right)\iff a=-2$.

Vậy với $a=-2$ thì hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Vận dụng 2

Một hãng taxi đưa ra giá cước $T\left(x\right)$ (đồng) khi đi quãng đường $x$ (km) cho loại xe 4 chỗ như sau:

$T\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}10000& khi0<x\le 0,7\\ -10000+\left(x-0,7\right).14000& khi0,7<x\le 20\\ 280200+\left(x--20\right).12000& khix>20\end{array}$

Xét tính liên tục của hàm số $T\left(x\right)$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.

Bước 3: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x_0=0,7$ và $x_0=20$.

Bước 4: Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Hàm số $T\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $T\left(x\right)$ xác định trên từng khoảng $\left(0;0,7\right),\left(0,7;20\right)$ và $\left(20;+\mathrm{\infty }\right)$ nên hàm số liên tục trên các khoảng đó.

Ta có: $T\left(0,7\right)=10000$

$\begin{array}{l}\underset{x\to 0,7^{+}}{lim}T\left(x\right)=\underset{x\to 0,7^{+}}{lim}\left(10000+\left(x-0,7\right).14000\right)=10000+\left(0,7-0,7\right).14000=10000\\ \underset{x\to 0,7^{-}}{lim}T\left(x\right)=\underset{x\to 0,7^{-}}{lim}10000=10000\end{array}$

Vì $\underset{x\to 0,7^{+}}{lim}T\left(x\right)=\underset{x\to 0,7^{-}}{lim}T\left(x\right)=10000$ nên $\underset{x\to 0,7}{lim}T\left(x\right)=10000=T\left(0,7\right)$.

Vậy hàm số $T\left(x\right)$ liên tục tại điểm $x_0=0,7$.

Ta có: $T\left(20\right)=10000+\left(20-0,7\right).14000=280200$

$\begin{array}{l}\underset{x\to {20}^{+}}{lim}T\left(x\right)=\underset{x\to {20}^{+}}{lim}\left(280200+\left(x-20\right).12000\right)=280200+\left(20-20\right).12000=280200\\ \underset{x\to {20}^{-}}{lim}T\left(x\right)=\underset{x\to {20}^{-}}{lim}\left(10000+\left(x-0,7\right).14000\right)=10000+\left(20-0,7\right).14000=280200\end{array}$

Vì $\underset{x\to {20}^{+}}{lim}T\left(x\right)=\underset{x\to {20}^{-}}{lim}T\left(x\right)=280200$ nên $\underset{x\to 20}{lim}T\left(x\right)=280200=T\left(20\right)$.

Vậy hàm số $T\left(x\right)$ liên tục tại điểm $x_0=20$.

Vậy hàm số $T\left(x\right)$ liên tục trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.