Bài 11 trang 86 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{x+4}& khix\ge 0\\ 2\cos x& khix<0\end{array}$.

Lời giải chi tiết

Hàm số $f\left(x\right)$ xác định trên $\mathbb{R}$.

Trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$, hàm số $f\left(x\right)$ là hàm căn thức xác định trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ nên hàm số liên tục trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$, hàm số $f\left(x\right)$ là hàm lượng giác xác định trên $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ nên hàm số liên tục trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$.

Vậy hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Ta có: $f\left(0\right)=\sqrt{0+4}=2$

Ta có:       $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sqrt{x+4}=\sqrt{0+4}=2$

                   $\underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}2\cos x=2\cos 0=2$

Vì $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)=2$ nên $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=2=f\left(0\right)$.

Vậy hàm số liên tục tại điểm $x=0$.

Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.