Bài 5 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Để làm một khung lồng đèn kéo quân hình lăng trụ lục giác$ABCDEF.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$, Bình gắn hai thanh tre $A_1{D}_1,F_1{C}_1$ song song với mặt phẳng đáy và cắt nhau tại $O_1$ (Hình 19).

a) Xác định giao tuyến của $mp\left(A_1{D}_1,F_1{C}_1\right)$ với các mặt bên của lăng trụ.

b) Cho biết $A^{\prime }{A}_1=6A{A}_1$ và $A{A}^{\prime }=70cm$. Tính $C{C}_1$ và $C_1{C}^{\prime }$.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $B_1,E_1$ lần lượt là giao điểm của $mp\left(A_1{D}_1,F_1{C}_1\right)$ với $B{B}^{\prime },E{E}^{\prime }$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{A}_1{D}_1\parallel \left(ABC\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}\right)\\ F_1{C}_1\parallel \left(ABC\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}\right)\\ A_1{D}_1,F_1{C}_1\subset mp\left(A_1{D}_1,F_1{C}_1\right)\end{array}\}\Rightarrow mp\left(A_1{D}_1,F_1{C}_1\right)\parallel \left(ABC\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}\right)$

Vậy giao tuyến của $mp\left(A_1{D}_1,F_1{C}_1\right)$ với các mặt bên của lăng trụ là:

$\begin{array}{l}mp\left(A_1{D}_1,F_1{C}_1\right)\cap \left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)=A_1{B}_1\\ mp\left(A_1{D}_1,F_1{C}_1\right)\cap \left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)=B_1{C}_1\\ mp\left(A_1{D}_1,F_1{C}_1\right)\cap \left(C\mathrm{D}{\mathrm{D}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }\right)=C_1{D}_1\\ mp\left(A_1{D}_1,F_1{C}_1\right)\cap \left(DE{E}^{\prime }{D}^{\prime }\right)=D_1{E}_1\\ mp\left(A_1{D}_1,F_1{C}_1\right)\cap \left(EF{F}^{\prime }{E}^{\prime }\right)=E_1{F}_1\\ mp\left(A_1{D}_1,F_1{C}_1\right)\cap \left(AF{F}^{\prime }{A}^{\prime }\right)=A_1{F}_1\end{array}$

b) $ABCDEF.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$ là hình lăng trụ $\Rightarrow C{C}^{\prime }=A{A}^{\prime }=70\left(cm\right)$

$A^{\prime }{A}_1=6A{A}_1\Rightarrow A{A}_1=\frac{1}{7}A{A}^{\prime }=10\left(cm\right)$

$mp\left(A_1{D}_1,F_1{C}_1\right)\parallel \left(ABC\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}\right)\parallel \left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }{\mathrm{E}}^{\prime }{\mathrm{F}}^{\prime }\right)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{C{C}_1}{C{C}^{\prime }}=\frac{A{A}_1}{A{A}^{\prime }}\iff C{C}_1=\frac{C{C}^{\prime }.A{A}_1}{A{A}^{\prime }}=\frac{70.10}{70}=10\left(cm\right)\\ \Rightarrow C_1{C}^{\prime }=C{C}^{\prime }-C{C}_1=70-10=60\left(cm\right)\end{array}$