Bài 6 trang 143 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 11 được cho ở bảng sau:

Hãy ước lượng số trung bình, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải chi tiết

Ta có:

Tổng số học sinh: $n=8+10+16+24+13+7+4=82$

• Điểm trung bình môn Toán của các học sinh lớp 11 trên là:

$\overline{x}=\frac{8.6,75+10.7,25+16.7,75+24.8,25+13.8,75+7.9,25+4.9,75}{82}=8,12$

• Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm $\left[8;8,5\right)$.

Do đó: $u_m=8;n_{m-1}=16;n_m=24;n_{m+1}=13;u_{m+1}-u_m=8,5-8=0,5$

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$M_O=u_m+\frac{n_m-n_{m-1}}{\left(n_m-n_{m-1}\right)+\left(n_m-n_{m+1}\right)}.\left(u_{m+1}-u_m\right)=8+\frac{24-16}{\left(24-16\right)+\left(24-13\right)}.0,5\approx 8,21$

• Gọi $x_1;x_2;...;x_{82}$ là điểm của các học sinh lớp 11 được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

$\begin{array}{l}{x}_1,...,x_8\in \begin{array}{c}\left[6,5;7\right)\end{array};x_9,...,x_{18}\in \begin{array}{c}\left[7;7,5\right)\end{array};x_{19},...,x_{34}\in \begin{array}{c}\left[7,5;8\right)\end{array};x_{35},...,x_{58}\in \begin{array}{c}\left[8;8,5\right)\end{array};\\ x_{59},...,x_{71}\in \begin{array}{c}\left[8,5;9\right)\end{array};x_{72},...,x_{78}\in \begin{array}{c}\left[9;9,5\right)\end{array};x_{79},...,x_{82}\in \begin{array}{c}\left[9,5;10\right)\end{array}\end{array}$

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: $\frac{1}{2}\left(x_{41}+x_{42}\right)$

Ta có: $n=82;n_m=24;C=8+10+16=34;u_m=8;u_{m+1}=8,5$

Do $x_{41},x_{42}\in \begin{array}{l}\left[8;8,5\right)\end{array}$ nên tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:

$Q_2=u_m+\frac{\frac{n}{2}-C}{n_m}.\left(u_{m+1}-u_m\right)=8+\frac{\frac{82}{2}-34}{24}.\left(8,5-8\right)\approx 8,15$

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: $x_{21}$.

Ta có: $n=82;n_m=16;C=8+10=18;u_m=7,5;u_{m+1}=8$

Do $x_{21}\in \begin{array}{l}\left[7,5;8\right)\end{array}$ nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:

$Q_1=u_m+\frac{\frac{n}{4}-C}{n_m}.\left(u_{m+1}-u_m\right)=7,5+\frac{\frac{82}{4}-18}{16}.\left(8-7,5\right)\approx 7,58$

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: $x_{62}$.

Ta có: $n=82;n_j=13;C=8+10+16+24=58;u_j=8,5;u_{j+1}=9$

Do $x_{62}\in \begin{array}{l}\left[8,5;9\right)\end{array}$ nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:

$Q_3=u_j+\frac{\frac{3n}{4}-C}{n_j}.\left(u_{j+1}-u_j\right)=8,5+\frac{\frac{3.82}{4}-58}{13}.\left(9-8,5\right)\approx 8,63$