Giải mục 2 trang 43 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 2

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm $x=x_0$ với $x_0>0$.

Phương pháp giải:

Tính giới hạn $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Lời giải chi tiết:

Với bất kì $x_0>0$, ta có:

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{x_0}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{x_0}\right)}{\left(x-x_0\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{x_0}\right)}\\ =\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x-x_0}{\left(x-x_0\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{x_0}\right)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}=\frac{1}{\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0}}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}\end{array}$

Vậy $f^{\prime }\left(x\right)={\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Thực hành 2

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm có hoành độ bằng 4.

Phương pháp giải:

Hệ số góc: $f^{\prime }\left(x_0\right)$.

Phương trình tiếp tuyến: $y-f\left(x_0\right)=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$.

Lời giải chi tiết:

$y_0=\sqrt{4}=2$

Ta có: ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ nên tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại điểm $M\left(4;2\right)$ có hệ số góc là: $f^{\prime }\left(4\right)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$

Phương trình tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại điểm $M$ là:

$y-2=\frac{1}{4}\left(x-4\right)\iff y=\frac{1}{4}x-1+2\iff y=\frac{1}{4}x+1$.

Thực hành 3

Tìm đạo hàm của các hàm số:

a) $y=\sqrt[4]{x}$ tại $x=1$;     

b) $y=\frac{1}{x}$ tại $x=-\frac{1}{4}$;

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức ${\left(x^{\alpha }\right)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}\left(x>0\right)$.

b) Sử dụng công thức ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}\left(x\ne 0\right)$.

Lời giải chi tiết:

a) $y^{\prime }={\left(\sqrt[4]{x}\right)}^{\prime }={\left(x^{\frac{1}{4}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{4}{x}^{\frac{1}{4}-1}=\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$

$y^{\prime }\left(1\right)=\frac{1}{4\sqrt[4]{1^3}}=\frac{1}{4}$.

b) $y^{\prime }={\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$

$y^{\prime }\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2}=-16$.