Giải mục 1 trang 42, 43 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 1

a) Dùng định nghĩa tỉnh đạo hàm của hàm số $y=x$ tại điểm $x=x_0$.

b) Nhắc lại đạo hàm của các hàm số $y=x^2,y=x^3$ đã tìm được ở bài học trước. Từ đó, dự đoán đạo hàm của hàm số $y=x^n$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Phương pháp giải:

Tính giới hạn $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Lời giải chi tiết:

a) Với bất kì $x_0\in \mathbb{R}$, ta có:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x-x_0}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}1=1$

Vậy $f^{\prime }\left(x\right)={\left(x\right)}^{\prime }=1$ trên $\mathbb{R}$.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}{\left(x^2\right)}^{\prime }=2\mathrm{x}\\ {\left(x^3\right)}^{\prime }=3{\mathrm{x}}^2\\ ...\\ {\left(x^n\right)}^{\prime }=n{\mathrm{x}}^{n-1}\end{array}$

Thực hành 1

Tính đạo hàm của hảm số $y=x^{10}$ tại $x=-1$ và $x=\sqrt[3]{2}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{\mathrm{x}}^{n-1}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${\left(x^{10}\right)}^{\prime }=10{\mathrm{x}}^9$

Từ đó: $y^{\prime }\left(-1\right)=10.{\left(-1\right)}^9=-10$ và $y^{\prime }\left(\sqrt[3]{2}\right)=10.{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^9=80$.