Bài 3 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình chóp cụt lục giác đều $ABCDEF.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$ với $O$ và $O^{\prime }$ là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là $a$ và $\frac{a}{2},O{O}^{\prime }=a$

a) Tìm góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

b) Tìm góc phẳng nhị diện $\left[O,AB,A^{\prime }\right];\left[O^{\prime },A^{\prime }{B}^{\prime },A\right]$.

Lời giải chi tiết

a) Kẻ $C^{\prime }H\mathrm{\perp }OC\left(H\in OC\right)$

 là hình chữ nhật $\Rightarrow OH=O^{\prime }{C}^{\prime }=a,O{O}^{\prime }\parallel C^{\prime }H$

Mà $O{O}^{\prime }\mathrm{\perp }\left(ABCDEF\right)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow C^{\prime }H\mathrm{\perp }\left(ABCDEF\right)\\ \Rightarrow \left(C{C}^{\prime },\left(ABCDEF\right)\right)=\left(C{C}^{\prime },CH\right)=\widehat{C^{\prime }CH}\end{array}$

$\begin{array}{l}HC=OC-O^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{a}{2},C^{\prime }H=O{O}^{\prime }=a\\ \Rightarrow \tan \widehat{C^{\prime }CH}=\frac{C^{\prime }H}{HC}=2\Rightarrow \widehat{C^{\prime }CH}\approx 63,4^{\circ }\end{array}$

Vậy $\left(C{C}^{\prime },\left(ABCDEF\right)\right)\approx 63,4^{\circ }$

b) Gọi $M,M^{\prime }$ lần lượt là trung điểm của $AB,A^{\prime }{B}^{\prime }$.

$\Rightarrow OM\mathrm{\perp }AB,O^{\prime }{M}^{\prime }\mathrm{\perp }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$

$AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình thang cân $\Rightarrow M{M}^{\prime }\mathrm{\perp }AB,M{M}^{\prime }\mathrm{\perp }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$

$\Rightarrow \left[O,AB,A^{\prime }\right]=\widehat{OM{M}^{\prime }},\left[O^{\prime },A^{\prime }{B}^{\prime },A\right]=\widehat{O^{\prime }{M}^{\prime }M}$

Kẻ $M^{\prime }K\mathrm{\perp }OM\left(K\in OM\right)$

$O{O}^{\prime }{M}^{\prime }K$ là hình chữ nhật $\Rightarrow OK=O^{\prime }{K}^{\prime }=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4},O{O}^{\prime }=M^{\prime }K=a$

$\begin{array}{l}OM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2},MK=OM-OK=\frac{a\sqrt{3}}{4}\\ \Rightarrow \tan \widehat{OM{M}^{\prime }}=\frac{M^{\prime }K}{MK}=\frac{4}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{OM{M}^{\prime }}\approx 66,6^{\circ }\\ \Rightarrow \widehat{O^{\prime }{M}^{\prime }M}={180}^{\circ }-\widehat{OM{M}^{\prime }}=113,4^{\circ }\end{array}$