Bài 13 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày $\left(0\le t<24\right)$ cho bởi công thức $h=3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12$. Tìm t để độ sâu của mực nước là

a)     15m

b)     9m

c)     10,5m

Lời giải chi tiết

+) Độ sâu của mực nước là 15m thì h = 15.

Khi đó

 $\begin{array}{l}15=3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12\\ \iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=1\\ \iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=\cos 0\\ \iff \frac{\pi t}{6}+1=k2\pi \\ \iff t=\frac{6\left(k2\pi -1\right)}{\pi };k\in Z\end{array}$

Vì $0\le t<24$ nên

 $\begin{array}{l}0\le \frac{6\left(k2\pi -1\right)}{\pi }\le 24\\ \iff 0<k\le 2\end{array}$

Lại do $k\in Z\Rightarrow k\in \left\{1;2\right\}\Rightarrow t\in \left\{\frac{6\left(2\pi -1\right)}{\pi };\frac{6\left(4\pi -1\right)}{\pi }\right\}$

+) Độ sâu của mực nước là 9m thì h = 9.

Khi đó

 $\begin{array}{l}9=3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12\\ \iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-1\\ \iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=\cos \pi \\ \iff \frac{\pi t}{6}+1=\pi +k2\pi \\ \iff t=\frac{6\left(k2\pi +\pi -1\right)}{\pi };k\in Z\end{array}$

Vì $0\le t<24$ nên

 $\begin{array}{l}0\le \frac{6\left(k2\pi +\pi -1\right)}{\pi }\le 24\\ \iff 0<k\le 1\end{array}$

Lại do $k\in Z\Rightarrow k=1\Rightarrow t=\frac{6\left(3\pi -1\right)}{\pi }$

+) Độ sâu của mực nước là 10,5m thì h = 10,5.

Khi đó

 $\begin{array}{l}10,5=3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12\\ \iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-\frac{1}{2}\\ \iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=\cos \frac{2\pi }{3}\\ \iff [\begin{array}{c}\frac{\pi t}{6}+1=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \frac{\pi t}{6}+1=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}t=\frac{6\left(\frac{2\pi }{3}+k2\pi -1\right)}{\pi };k\in Z\\ t=\frac{6\left(-\frac{2\pi }{3}+k2\pi -1\right)}{\pi };k\in Z\end{array}\end{array}$

Với $t=\frac{6\left(\frac{2\pi }{3}+k2\pi -1\right)}{\pi };k\in Z$

Vì $0\le t<24$ nên

 $\begin{array}{l}0\le \frac{6\left(\frac{2\pi }{3}+k2\pi -1\right)}{\pi }\le 24\\ \iff 0\le k\le 2\end{array}$

Lại do $k\in Z\Rightarrow k\in \left\{0;1;2\right\}\Rightarrow t\in \left\{\frac{6\left(\frac{2\pi }{3}-1\right)}{\pi };\frac{6\left(\frac{8\pi }{3}-1\right)}{\pi };\frac{6\left(\frac{14\pi }{3}-1\right)}{\pi }\right\}$

Với $t=\frac{6\left(-\frac{2\pi }{3}+k2\pi -1\right)}{\pi };k\in Z$

Vì $0\le t<24$ nên

 $\begin{array}{l}0\le \frac{6\left(-\frac{2\pi }{3}+k2\pi -1\right)}{\pi }\le 24\\ \iff 0<k\le 2\end{array}$

Lại do $k\in Z\Rightarrow k\in \left\{1;2\right\}\Rightarrow t\in \left\{\frac{6\left(-\frac{2\pi }{3}-1\right)}{\pi };\frac{6\left(\frac{4\pi }{3}-1\right)}{\pi };\frac{6\left(\frac{10\pi }{3}-1\right)}{\pi }\right\}$